Quadratic Equations Class 10 Maths (Chapter 4)

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations 


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NCERT Solutions For Class 10 Maths Chapter 4 – 


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Chapter 4 

QUADRATIC EQUATIONS

(द्विघात समीकरण)

 

Introduction to Quadratic Equations | द्विघात समीकरण का परिचय

(Class 10 / कक्षा 10)

In Chapter 2, you studied quadratic polynomials (ax² + bx + c). Now, we will explore what happens when we set a quadratic polynomial equal to zero. This creates a Quadratic Equation, a powerful tool used to model many real-world situations, from the path of a thrown ball to problems involving area and speed.

अध्याय 2 में, आपने द्विघात बहुपदों (ax² + bx + c) का अध्ययन किया। अब, हम यह जानेंगे कि जब हम एक द्विघात बहुपद को शून्य के बराबर रखते हैं तो क्या होता है। इससे एक द्विघात समीकरण बनता है, जो एक शक्तिशाली उपकरण है जिसका उपयोग कई वास्तविक जीवन की स्थितियों को मॉडल करने के लिए किया जाता है, जैसे फेंकी गई गेंद का पथ या क्षेत्रफल और गति से संबंधित समस्याएँ।

1. What is a Quadratic Equation? | द्विघात समीकरण क्या है?

A quadratic equation is any equation that can be written in the standard form:
कोई भी समीकरण जिसे मानक रूप में लिखा जा सके, एक द्विघात समीकरण कहलाता है:

ax² + bx + c = 0

Where:
जहाँ:

  • x is the variable (चर).

  • a, b, and c are real numbers (वास्तविक संख्याएँ).

  • The most important condition is that a ≠ 0. If a were 0, the x² term would vanish, and it would become a linear equation (bx + c = 0).
    सबसे महत्वपूर्ण शर्त यह है कि a ≠ 0। यदि a शून्य होता, तो x² वाला पद समाप्त हो जाता, और यह एक रैखिक समीकरण (bx + c = 0) बन जाता।

2. Solutions or Roots of a Quadratic Equation | द्विघात समीकरण के हल या मूल

A "solution" or "root" of a quadratic equation is a real number, let's call it α (alpha), which, when substituted for x, makes the equation true. In other words, aα² + bα + c = 0.
एक द्विघात समीकरण का "हल" या "मूल" एक वास्तविक संख्या, मान लीजिए α (अल्फा) होती है, जिसे x के स्थान पर रखने पर समीकरण सत्य हो जाता है। दूसरे शब्दों में, aα² + bα + c = 0।

  • The roots of the quadratic equation ax² + bx + c = 0 are the same as the zeroes of the quadratic polynomial ax² + bx + c.
    द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल, द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यकों के समान ही होते हैं।

  • A quadratic equation can have at most two roots.
    एक द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं।

3. Methods for Solving a Quadratic Equation | द्विघात समीकरण को हल करने की विधियाँ

In this chapter, you will learn three main methods to find the roots of a quadratic equation.
इस अध्याय में, आप द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने की तीन मुख्य विधियाँ सीखेंगे।

1. Factorization Method (गुणनखंडन विधि)

  • This involves splitting the middle term (bx) and expressing the quadratic polynomial as a product of two linear factors. Then, we set each factor to zero to find the roots.
    इसमें मध्य पद (bx) को विभक्त करके द्विघात बहुपद को दो रैखिक गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जाता है। फिर, हम मूल ज्ञात करने के लिए प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखते हैं।

2. Completing the Square Method (पूर्ण वर्ग बनाने की विधि)

  • This method converts the quadratic equation from the form ax² + bx + c = 0 into the form (x + k)² = m². From here, we can easily find the value of x by taking the square root.
    यह विधि द्विघात समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप से (x + k)² = m² के रूप में परिवर्तित करती है। यहाँ से, हम वर्गमूल लेकर आसानी से x का मान ज्ञात कर सकते हैं।

3. Quadratic Formula (द्विघाती सूत्र)

  • This is a universal formula that can solve any quadratic equation. It is also known as Shreedharacharya's formula.
    यह एक सार्वभौमिक सूत्र है जो किसी भी द्विघात समीकरण को हल कर सकता है। इसे श्रीधराचार्य सूत्र के नाम से भी जाना जाता है।

x = [ -b ± √(b² - 4ac) ] / 2a

4. Nature of Roots (The Discriminant) | मूलों की प्रकृति (विविक्तकर)

A very important new concept in this chapter is the Discriminant. It tells us about the "nature" of the roots (whether they are real, equal, or distinct) without actually solving the equation.
इस अध्याय में एक बहुत ही महत्वपूर्ण नई अवधारणा विविक्तकर (Discriminant) है। यह हमें समीकरण को वास्तव में हल किए बिना मूलों की "प्रकृति" के बारे में बताता है (कि वे वास्तविक, बराबर, या भिन्न हैं)।

The Discriminant, denoted by D, is the part under the square root in the quadratic formula:
विविक्तकर, जिसे D से दर्शाया जाता है, द्विघाती सूत्र में वर्गमूल के अंदर का भाग है:

D = b² - 4ac

Based on the value of D, we have three cases:
D के मान के आधार पर, हमारे पास तीन स्थितियाँ होती हैं:

Case (स्थिति)Value of Discriminant (D का मान)Nature of Roots (मूलों की प्रकृति)
1D > 0Two distinct real roots (दो भिन्न वास्तविक मूल)
2D = 0Two equal real roots (दो बराबर वास्तविक मूल)
3D < 0No real roots (कोई वास्तविक मूल नहीं)

This chapter gives you a complete toolkit to tackle any quadratic equation you encounter.
यह अध्याय आपको मिलने वाले किसी भी द्विघात समीकरण से निपटने के लिए एक संपूर्ण टूलकिट प्रदान करता है।

Exercise 4.1

Q1.जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं :
Check whether the following are quadratic equations :

(i) (x + 1)² = 2(x - 3)
(ii) x² - 2x = (-2)(3 - x)
(iii) (x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 3)
(iv) (x - 3)(2x + 1) = x(x + 5)
(v) (2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1)
(vi) x² + 3x + 1 = (x - 2)²
(vii) (x + 2)³ = 2x(x² - 1)
(viii) x³ - 4x² - x + 1 = (x - 2)³

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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Q2. निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए :
Represent the following situations in the form of quadratic equations :

(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m² है। क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
The area of a rectangular plot is 528 m². The length of the plot (in metres) is one more than twice its breadth. We need to find the length and breadth of the plot.

(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
The product of two consecutive positive integers is 306. We need to find the integers.

(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
Rohan’s mother is 26 years older than him. The product of their ages (in years) 3 years from now will be 360. We would like to find Rohan’s present age.

(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
A train travels a distance of 480 km at a uniform speed. If the speed had been 8 km/h less, then it would have taken 3 hours more to cover the same distance. We need to find the speed of the train.

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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Exercise 4.2

Q1. गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:
Find the roots of the following quadratic equations by factorisation:

(i) x² - 3x - 10 = 0
(ii) 2x² + x - 6 = 0
(iii) √2 x² + 7x + 5√2 = 0
(iv) 2x² - x + 1/8 = 0
(v) 100x² - 20x + 1 = 0

Q2. उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए।
Solve the problems given in Example 1.

Q3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।
Find two numbers whose sum is 27 and product is 182.

Q4. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।
Find two consecutive positive integers, sum of whose squares is 365.

Q5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
The altitude of a right triangle is 7 cm less than its base. If the hypotenuse is 13 cm, find the other two sides.

Q6.एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (₹ में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹ 90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए। 

A cottage industry produces a certain number of pottery articles in a day. It was observed on a particular day that the cost of production of each article (in rupees) was 3 more than twice the number of articles produced on that day. If the total cost of production on that day was ₹ 90, find the number of articles produced and the cost of each article.


उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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Exercise 4.3

Q1. निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए :
Find the nature of the roots of the following quadratic equations. If the real roots exist, find them:

(i) 2x² - 3x + 5 = 0
(ii) 3x² - 4√3 x + 4 = 0
(iii) 2x² - 6x + 3 = 0

Q2. निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों।
Find the values of k for each of the following quadratic equations, so that they have two equal roots.

(i) 2x² + kx + 3 = 0
(ii) kx (x - 2) + 6 = 0

Q3. क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m² हो? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Is it possible to design a rectangular mango grove whose length is twice its breadth, and the area is 800 m²? If so, find its length and breadth.

Q4. क्या निम्न स्थिति संभव है? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।
Is the following situation possible? If so, determine their present ages.
The sum of the ages of two friends is 20 years. Four years ago, the product of their ages in years was 48.

Q5. क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400 m² के एक पार्क को बनाना संभव है? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Is it possible to design a rectangular park of perimeter 80 m and area 400 m²? If so, find its length and breadth.

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)


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