Polynomials Class 10 Maths (Chapter 2)


NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 Polynomials


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NCERT Solutions For Class 10 Maths Chapter 2 – 


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Chapter 2 

POLYNOMIALS

(बहुपद)

Introduction to Polynomials (Class 10) | बहुपद का परिचय (कक्षा 10)

Welcome back to the world of polynomials! In Class 9, you learned the basics: what a polynomial is, its degree, and how to find its value and zeroes. In Class 10, we will dive deeper, focusing on the relationship between the zeroes of a polynomial and its coefficients, and the geometrical meaning of zeroes.

बहुपदों की दुनिया में आपका फिर से स्वागत है! कक्षा 9 में, आपने मूल बातें सीखी थीं: बहुपद क्या है, उसकी घात क्या है, और उसका मान और शून्यक कैसे ज्ञात करते हैं। कक्षा 10 में, हम और गहराई में जाएँगे, और विशेष रूप से एक बहुपद के शून्यकों और उसके गुणांकों के बीच संबंध और शून्यकों के ज्यामितीय अर्थ पर ध्यान केंद्रित करेंगे।

1. A Quick Recap from Class 9 | कक्षा 9 से एक त्वरित पुनरावृत्ति

  • Polynomial (बहुपद): An expression of the form p(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ, where the exponents of the variable x are non-negative integers.
    एक व्यंजक जो p(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ के रूप का हो, जहाँ चर x के घातांक ऋणेतर पूर्णांक (non-negative integers) हों।

  • Degree (घात): The highest power of the variable in the polynomial.
    बहुपद में चर की उच्चतम घात।

  • Zero of a Polynomial (बहुपद का शून्यक): A real number k is a zero of the polynomial p(x) if p(k) = 0.
    एक वास्तविक संख्या k बहुपद p(x) का शून्यक कहलाती है यदि p(k) = 0 हो।

2. What's New in Class 10? | कक्षा 10 में नया क्या है?

This year, we will focus on three main new ideas:
इस वर्ष, हम तीन मुख्य नए विचारों पर ध्यान केंद्रित करेंगे:

  1. Geometrical Meaning of the Zeroes: What do the zeroes of a polynomial look like on a graph?
    शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ: एक बहुपद के शून्यक ग्राफ पर कैसे दिखते हैं?

  2. Relationship between Zeroes and Coefficients: The most important part! How are the zeroes related to the numbers (a, b, c) in the polynomial?
    शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध: सबसे महत्वपूर्ण भाग! बहुपद में संख्याओं (a, b, c) से शून्यक कैसे संबंधित हैं?

  3. Division Algorithm for Polynomials: A formal method for dividing one polynomial by another.
    बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म: एक बहुपद को दूसरे से विभाजित करने की एक औपचारिक विधि।

3. Geometrical Meaning of the Zeroes | शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ

The zeroes of a polynomial p(x) are the x-coordinates of the points where its graph intersects the x-axis.
एक बहुपद p(x) के शून्यक उन बिंदुओं के x-निर्देशांक होते हैं जहाँ इसका ग्राफ x-अक्ष को प्रतिच्छेद (intersect) करता है।

  • Linear Polynomial (रैखिक बहुपद) ax + b: Its graph is a straight line that intersects the x-axis at exactly one point. So, it has one zero.
    इसका ग्राफ एक सीधी रेखा है जो x-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर काटती है। अतः इसका एक शून्यक होता है।

  • Quadratic Polynomial (द्विघात बहुपद) ax² + bx + c: Its graph is a U-shaped curve called a parabola. It can intersect the x-axis at:
    इसका ग्राफ एक U-आकार का वक्र होता है जिसे परवलय (parabola) कहते हैं। यह x-अक्ष को इन स्थितियों में काट सकता है:

    • Two distinct points: The polynomial has two distinct real zeroes. (दो अलग-अलग बिंदुओं पर: बहुपद के दो अलग-अलग वास्तविक शून्यक होते हैं।)

    • Exactly one point (touches the axis): The polynomial has two equal real zeroes. (ठीक एक बिंदु पर (अक्ष को छूता है): बहुपद के दो बराबर वास्तविक शून्यक होते हैं।)

    • No points: The polynomial has no real zeroes. (किसी भी बिंदु पर नहीं: बहुपद का कोई वास्तविक शून्यक नहीं होता है।)

  • A polynomial of degree n can have at most .
    घात n वाले एक बहुपद के अधिक से अधिक  हो सकते हैं।

4. Relationship Between Zeroes and Coefficients | शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध

This is the core concept of the chapter.
यह इस अध्याय की मुख्य अवधारणा है।

A. For a Quadratic Polynomial (द्विघात बहुपद के लिए): 
Let the zeroes be α (alpha) and β (beta).
मान लीजिए शून्यक α (अल्फा) और β (बीटा) हैं।

Then we have two beautiful relationships:
तब हमारे पास दो बहुत सुन्दर संबंध होते हैं:

  1. Sum of Zeroes (शून्यकों का योग):

    α + β = -b / a (= -(Coefficient of x) / (Coefficient of x²))

  2. Product of Zeroes (शून्यकों का गुणनफल):

    αβ = c / a (= (Constant term) / (Coefficient of x²))

Example (उदाहरण): Find the zeroes of x² + 7x + 10 and verify the relationship.
x² + 7x + 10 के शून्यक ज्ञात कीजिए और संबंध को सत्यापित कीजिए।

  • Finding Zeroes: x² + 5x + 2x + 10 = 0 → x(x+5) + 2(x+5) = 0 → (x+2)(x+5) = 0.
    So, the zeroes are x = -2 and x = -5. Let α = -2 and β = -5.

  • Verification: Here, a=1, b=7, c=10.

    • Sum: α + β = (-2) + (-5) = -7. From formula: -b/a = -7/1 = -7. (Verified!)

    • Product: αβ = (-2) × (-5) = 10. From formula: c/a = 10/1 = 10. (Verified!)

B. For a Cubic Polynomial (त्रिघात बहुपद के लिए): 
Let the zeroes be α, β, and γ (gamma).
मान लीजिए शून्यक α, β, और γ (गामा) हैं।

  1. Sum of Zeroes (शून्यकों का योग):

    α + β + γ = -b / a

  2. Sum of the product of zeroes taken two at a time (दो-दो करके लिए गए शून्यकों के गुणनफलों का योग):

    αβ + βγ + γα = c / a

  3. Product of Zeroes (शून्यकों का गुणनफल):

    αβγ = -d / a

5. Forming a Polynomial from its Zeroes | शून्यकों से बहुपद बनाना

If you are given the sum and product of the zeroes of a quadratic polynomial, you can form the polynomial directly.
यदि आपको किसी द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग और गुणनफल दिया गया है, तो आप सीधे बहुपद बना सकते हैं।

p(x) = k [ x² – (sum of zeroes)x + (product of zeroes) ]
p(x) = k [ x² – (α + β)x + αβ ]

Where k is any non-zero real number.
जहाँ k कोई भी शून्येतर वास्तविक संख्या है।

This framework covers the essential new ideas for Polynomials in Class 10.
यह ढाँचा कक्षा 10 में बहुपदों के लिए आवश्यक नए विचारों को शामिल करता है।

Exercise 2.1

Q1. किसी बहुपद p(x) के लिए, y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृति 2.10 में दिया है। प्रत्येक स्थिति में, p(x) के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।
The graphs of y = p(x) are given in Fig. 2.10 below, for some polynomials p(x). Find the number of zeroes of p(x), in each case.

(The question refers to the six graphs labeled (i) to (vi) in the image.)

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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Exercise 2.2

Q1. निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए :
Find the zeroes of the following quadratic polynomials and verify the relationship between the zeroes and the coefficients.

(i) x² - 2x - 8
(ii) 4s² - 4s + 1
(iii) 6x² - 3 - 7x
(iv) 4u² + 8u
(v) t² - 15
(vi) 3x² - x - 4

Q2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं:
Find a quadratic polynomial each with the given numbers as the sum and product of its zeroes respectively.

(i) 1/4, -1
(ii) √2, 1/3
(iii) 0, √5
(iv) 1, 1
(v) -1/4, 1/4
(vi) 4, 1

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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