Number System Class 10 Maths (Chapter 1)

 

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 Number System


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NCERT Solutions For Class 10 Maths Chapter 1 – 


Master the core concepts of mathematics with our comprehensive and easy-to-understand NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers. Specially crafted by subject experts, these solutions are your ultimate guide to ace the UP Board / CBSE Class 10 board examination. This content covers every question from your textbook, helping you understand crucial topics like the Fundamental Theorem of Arithmetic, finding HCF and LCM, and methods to prove that a number is irrational. Our Class 10 Maths Chapter 1 Solutions are meticulously framed according to the latest UP Board / CBSE Syllabus for 2025-26 and its guidelines, ensuring you are fully prepared for the exam pattern. By using these Real Numbers Class 10 NCERT Solutions, students can not only build a strong conceptual foundation but also learn the best techniques to score maximum marks.

Chapter 1 

REAL NUMBERS

(वास्तविक संख्याएँ)

Introduction to Real Numbers | वास्तविक संख्याओं का परिचय

(Class 10 / कक्षा 10)

Welcome to the first chapter of Class 10 mathematics! In Class 9, you explored the vast world of the Number System, learning about natural numbers, whole numbers, integers, rational numbers, and irrational numbers. You learned that when you combine all rational and irrational numbers, you get the set of Real Numbers.

कक्षा 10 गणित के पहले अध्याय में आपका स्वागत है! कक्षा 9 में, आपने संख्या पद्धति की विशाल दुनिया का पता लगाया, जिसमें आपने प्राकृत संख्याओं, पूर्ण संख्याओं, पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं के बारे में सीखा। आपने यह भी सीखा कि जब आप सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याओं को मिलाते हैं, तो आपको वास्तविक संख्याओं का समुच्चय मिलता है।

In Class 10, we will dive deeper into the properties of these real numbers. We will not just use them, but we will also prove some very fundamental and powerful results about them.

कक्षा 10 में, हम इन वास्तविक संख्याओं के गुणों का और गहराई से अध्ययन करेंगे। हम केवल उनका उपयोग ही नहीं करेंगे, बल्कि हम उनके बारे में कुछ बहुत ही मौलिक और शक्तिशाली परिणामों को सिद्ध भी करेंगे।

Here are the key new concepts you will learn in this chapter:
यहाँ वे मुख्य नई अवधारणाएँ हैं जिन्हें आप इस अध्याय में सीखेंगे:

1. Euclid's Division Lemma (यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका)

  • The Idea: This might sound like a new and complex name, but the idea behind it is very simple and something you have been using for years: Division! When you divide any positive integer by another positive integer, you get a quotient and a remainder. The lemma just states this fact in a formal mathematical way.
    अवधारणा: यह एक नया और जटिल नाम लग सकता है, लेकिन इसके पीछे का विचार बहुत सरल है और जिसे आप वर्षों से उपयोग कर रहे हैं: भाग! जब आप किसी धनात्मक पूर्णांक को दूसरे धनात्मक पूर्णांक से विभाजित करते हैं, तो आपको एक भागफल और एक शेषफल मिलता है। यह प्रमेयिका इसी तथ्य को एक औपचारिक गणितीय तरीके से बताती है।

  • The Statement: For any two given positive integers a and b, there exist unique whole numbers q and r such that:
    कथन: किन्हीं दो दिए गए धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए, ऐसी अद्वितीय पूर्ण संख्याएँ q और r विद्यमान हैं कि:

    a = bq + r, where 0 ≤ r < b

  • Its Application: We will use this lemma to develop Euclid's Division Algorithm, a step-by-step procedure to find the Highest Common Factor (HCF) of two positive integers.
    इसका अनुप्रयोग: हम इस प्रमेयिका का उपयोग यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म को विकसित करने के लिए करेंगे, जो दो धनात्मक पूर्णांकों का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करने की एक चरण-दर-चरण प्रक्रिया है।

2. The Fundamental Theorem of Arithmetic (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)

  • The Idea: This theorem states a beautiful fact about composite numbers. It says that any composite number can be expressed (or factorized) as a product of prime numbers, and this factorization is unique, apart from the order in which the prime factors occur.
    अवधारणा: यह प्रमेय भाज्य संख्याओं के बारे में एक सुंदर तथ्य बताती है। यह कहती है कि प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त (या गुणनखंडित) किया जा सकता है, और यह गुणनखंडन अभाज्य गुणनखंडों के आने वाले क्रम के बिना अद्वितीय होता है।

    • Example: 30 = 2 × 3 × 5. You can also write it as 5 × 2 × 3, but the prime factors will always be one 2, one 3, and one 5. There is no other set of prime numbers that will multiply to give 30.

    • उदाहरण: 30 = 2 × 3 × 5। आप इसे 5 × 2 × 3 भी लिख सकते हैं, लेकिन अभाज्य गुणनखंड हमेशा एक 2, एक 3, और एक 5 ही रहेंगे। अभाज्य संख्याओं का कोई अन्य समूह नहीं है जिसका गुणा करने पर 30 प्राप्त हो।

  • Its Application: We will use this theorem to find the HCF and LCM of numbers using the prime factorization method.
    इसका अनुप्रयोग: हम इस प्रमेय का उपयोग अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा संख्याओं का HCF और LCM ज्ञात करने के लिए करेंगे।

3. Proving Irrationality (अपरिमेयता सिद्ध करना)

  • The Idea: In Class 9, you accepted that numbers like √2, √3, and π are irrational. In this class, you will learn the logical method to prove that they are indeed irrational.
    अवधारणा: कक्षा 9 में, आपने यह स्वीकार किया था कि √2, √3, और π जैसी संख्याएँ अपरिमेय होती हैं। इस कक्षा में, आप यह सिद्ध करने की तार्किक विधि सीखेंगे कि वे वास्तव में अपरिमेय हैं।

  • The Method: We will use a powerful technique called "Proof by Contradiction" to establish the irrationality of numbers like √2, √3, √5, and combinations like 3 + 2√5.
    विधि: हम √2, √3, √5 जैसी संख्याओं और 3 + 2√5 जैसे संयोजनों की अपरिमेयता स्थापित करने के लिए "विरोधाभास द्वारा उपपत्ति" (Proof by Contradiction) नामक एक शक्तिशाली तकनीक का उपयोग करेंगे।

4. Revisiting Decimal Expansions of Rational Numbers (परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार का पुनर्भ्रमण)

  • The Idea: You know that a rational number has a decimal expansion that is either terminating (e.g., 0.5) or non-terminating but repeating (e.g., 0.333...).
    अवधारणा: आप जानते हैं कि एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत (जैसे, 0.5) होता है या अनवसानी आवर्ती (जैसे, 0.333...) होता है।

  • The New Rule: In this chapter, you will learn a simple rule to determine if the decimal expansion of a rational number p/q will be terminating or non-terminating repeating, without actually performing the long division. The rule depends on the prime factorization of the denominator q.
    नया नियम: इस अध्याय में, आप यह निर्धारित करने के लिए एक सरल नियम सीखेंगे कि किसी परिमेय संख्या p/q का दशमलव प्रसार सांत होगा या अनवसानी आवर्ती, और यह आप वास्तव में लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बिना कर पाएंगे। यह नियम हर q के अभाज्य गुणनखंडन पर निर्भर करता है।

Introduction Video


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Exercise 1.1

Q1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:
Express each number as a product of its prime factors:
(i) 140
(ii) 156
(iii) 3825
(iv) 5005
(v) 7429

Q2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM है।
Find the LCM and HCF of the following pairs of integers and verify that LCM × HCF = product of the two numbers.
(i) 26 और 91 (26 and 91)
(ii) 510 और 92 (510 and 92)
(iii) 336 और 54 (336 and 54)

Q3. अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए;
Find the LCM and HCF of the following integers by applying the prime factorisation method.
(i) 12, 15 और 21 (12, 15 and 21)
(ii) 17, 23 और 29 (17, 23 and 29)
(iii) 8, 9 और 25 (8, 9 and 25)

Q4. HCF (306, 657) = 9 दिया है। LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।
Given that HCF (306, 657) = 9, find LCM (306, 657).

Q5. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।
Check whether 6ⁿ can end with the digit 0 for any natural number n.

Q6. व्याख्या कीजिए कि 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं।
Explain why 7 × 11 × 13 + 13 and 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 are composite numbers.

Q7. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुन: प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे?
There is a circular path around a sports field. Sonia takes 18 minutes to drive one round of the field, while Ravi takes 12 minutes for the same. Suppose they both start at the same point and at the same time, and go in the same direction. After how many minutes will they meet again at the starting point?

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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Exercise 1.2

Q1. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
Prove that √5 is irrational.

Q2. सिद्ध कीजिए कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।
Prove that 3 + 2√5 is irrational.

Q3. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं:
Prove that the following are irrationals :
(i) 1/√2
(ii) 7√5
(iii) 6 + √2

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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