NCERT Class 9 Introduction to Euclid's Geometry (Chapter 5)


 

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 5 Introduction to Euclid's Geometry


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NCERT Solutions For Class 9 Maths Chapter 5 – 


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Chapter 5 

INTRODUCTION TO EUCLID’S GEOMETRY

(यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय )

Introduction to Euclid's Geometry | यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय

(Class 9 / कक्षा 9)

Welcome to the world of formal geometry! Until now, you have studied many shapes and their properties, but you have mostly accepted them as facts. This chapter introduces you to the system created by the ancient Greek mathematician Euclid, who is known as the "Father of Geometry".

औपचारिक ज्यामिति (formal geometry) की दुनिया में आपका स्वागत है! अब तक, आपने कई आकृतियों और उनके गुणों का अध्ययन किया है, लेकिन आपने उन्हें ज्यादातर तथ्यों के रूप में स्वीकार किया है। यह अध्याय आपको प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा बनाई गई प्रणाली से परिचित कराता है, जिन्हें "ज्यामिति का जनक" कहा जाता है।

Euclid's great contribution was to organize all the known geometric knowledge of his time into a logical system in his book, "Elements".
यूक्लिड का महान योगदान अपने समय के सभी ज्ञात ज्यामितीय ज्ञान को अपनी पुस्तक "एलिमेंट्स" में एक तार्किक प्रणाली में व्यवस्थित करना था।

1. The Basic Idea: From "Knowing" to "Proving" | मूल विचार: "जानने" से "सिद्ध करने" तक

The main idea of Euclid's Geometry is to start with a few very obvious, simple truths and then use logic to build up and prove more complex statements.
यूक्लिड की ज्यामिति का मुख्य विचार कुछ बहुत ही स्पष्ट, सरल सत्यों से शुरू करना और फिर तर्क का उपयोग करके अधिक जटिल कथनों को बनाना और सिद्ध करना है।

Think of it like building a house:
इसे एक घर बनाने की तरह सोचें:

  • You start with a solid foundation (the obvious truths).
    आप एक ठोस नींव (स्पष्ट सत्य) से शुरू करते हैं।

  • You then add bricks and walls in a logical order to build the structure (the complex statements).
    फिर आप संरचना (जटिल कथन) बनाने के लिए एक तार्किक क्रम में ईंटें और दीवारें जोड़ते हैं।

In geometry, this system is built on three types of building blocks: Definitions, Axioms, and Postulates.
ज्यामिति में, यह प्रणाली तीन प्रकार के मूलभूत खंडों पर बनी है: परिभाषाएँ, अभिगृहीत और अभिधारणाएँ।

2. The Building Blocks | ज्यामिति के मूलभूत अंग

A. Definitions (परिभाषाएँ)
A definition is a precise description of a mathematical term. Euclid started by defining the basic terms of geometry.
परिभाषा एक गणितीय पद का सटीक वर्णन है। यूक्लिड ने ज्यामिति के मूल पदों को परिभाषित करके शुरुआत की।

  • A point is that which has no part. (एक बिंदु वह है जिसका कोई भाग नहीं होता।)

  • A line is breadthless length. (एक रेखा चौड़ाई रहित लंबाई होती है।)

  • A surface is that which has length and breadth only. (एक पृष्ठ वह है जिसकी केवल लंबाई और चौड़ाई होती है।)

B. Axioms or Common Notions (अभिगृहीत या सामान्य अवधारणाएँ)
Axioms are assumptions that are considered to be universal truths. They are not specific to geometry and can be used in all of mathematics. You don't need to prove them because they are self-evident.
अभिगृहीत वे कल्पनाएँ हैं जिन्हें सार्वभौमिक सत्य माना जाता है। वे केवल ज्यामिति के लिए विशिष्ट नहीं हैं और पूरे गणित में उपयोग की जा सकती हैं। आपको उन्हें सिद्ध करने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि वे स्वतः सिद्ध हैं।

Some of Euclid's Axioms:
यूक्लिड के कुछ अभिगृहीत:

  1. Things which are equal to the same thing are equal to one another.
    (वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों, एक दूसरे के बराबर होती हैं।)

  2. If equals are added to equals, the wholes are equal.
    (यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए, तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।)

  3. The whole is greater than the part.
    (पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।)

C. Postulates (अभिधारणाएँ)
Postulates are also assumptions, but they are specific to geometry. They are also accepted as true without proof. Euclid proposed five main postulates.
अभिधारणाएँ भी कल्पनाएँ हैं, लेकिन ये ज्यामिति के लिए विशिष्ट हैं। इन्हें भी बिना प्रमाण के सत्य मान लिया जाता है। यूक्लिड ने पाँच मुख्य अभिधारणाएँ दीं।

3. Euclid's Five Postulates | यूक्लिड की पाँच अभिधारणाएँ

These are the five fundamental rules of Euclidean geometry:
ये यूक्लिडीय ज्यामिति के पाँच मूलभूत नियम हैं:

Postulate 1: A straight line may be drawn from any one point to any other point.
अभिधारणा 1: एक बिंदु से एक अन्य बिंदु तक एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।

Postulate 2: A terminated line (a line segment) can be produced indefinitely.
अभिधारणा 2: एक सांत रेखा (रेखाखंड) को अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है।

Postulate 3: A circle can be drawn with any center and any radius.
अभिधारणा 3: किसी को केंद्र मानकर और किसी त्रिज्या से एक वृत्त खींचा जा सकता है।

Postulate 4: All right angles are equal to one another.
अभिधारणा 4: सभी समकोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

Postulate 5: If a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side of it taken together less than two right-angles, then the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which the sum of angles is less than two right-angles.
अभिधारणा 5: यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिरकर अपने एक ही ओर दो अंतः कोण इस प्रकार बनाए कि इन दोनों कोणों का योग मिलकर दो समकोण से कम हो, तो वे दोनों सीधी रेखाएँ, अनिश्चित रूप से बढ़ाए जाने पर, उसी ओर मिलती हैं जिस ओर यह योग दो समकोण से कम होता है।

This fifth postulate is very famous and is equivalent to the idea that for any given line and a point not on the line, there is exactly one line through the point that is parallel to the given line.
(यह पाँचवीं अभिधारणा बहुत प्रसिद्ध है और इस विचार के बराबर है कि किसी दी गई रेखा और उस पर न स्थित किसी बिंदु के लिए, उस बिंदु से होकर जाने वाली ठीक एक ही रेखा होती है जो दी गई रेखा के समानांतर हो।)

4. Theorems (प्रमेय)

A theorem is a statement that has been proven to be true using definitions, axioms, postulates, and logical reasoning.
प्रमेय एक ऐसा कथन है जिसे परिभाषाओं, अभिगृहीतों, अभिधारणाओं और तार्किक तर्क का उपयोग करके सत्य सिद्ध किया गया है।

For example, the statement "The sum of the angles in a triangle is 180°" is a theorem because it can be proven using Euclid's postulates.
उदाहरण के लिए, "एक त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है" यह कथन एक प्रमेय है क्योंकि इसे यूक्लिड की अभिधारणाओं का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

Exercise 5.1

Q1. निम्नलिखित कथनों में से कौन-कौन से कथन सत्य हैं और कौन-से असत्य हैं? अपने उत्तरों के लिए कारण दीजिए।
Which of the following statements are true and which are false? Give reasons for your answers.

(i एक बिंदु से होकर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है।
Only one line can pass through a single point.

(ii) दो भन्न बिंदुओं से होकर जाने वाली असंख्य रेखाएँ हैं।
Tere are an infinite number of lines which pass through two distinct points.

(iii) एक सांत रेखा दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाई जा सकती है।
A terminated line can be produced indefinitely on both the sides.

(iv) यदि दो वृत्त बराबर है, तो उनकी त्रिज्याएँ बराबर होती है।
If two circles are equal, then their radii are equal.

(v) आकृति 5.9 में, यदि AB = PQ और PQ = XY है, तो AB = XY होगा।
In Fig. 5.9, if AB = PQ and PQ = XY, then AB = XY.
(आकृति 5.9 / Fig. 5.9)

Q2. निम्नलिखित पदों में से प्रत्येक की परिभाषा दीजिए। क्या इनके लिए कुछ ऐसे पद हैं, जिन्हें परिभाषित करने की आवश्यकता है? वे क्या हैं और आप इन्हें कैसे परिभाषित कर पाएँगे?
Give a definition for each of the following terms. Are there other terms that need to be defined first? What are they, and how might you define them?

(i) समांतर रेखाएँ / parallel lines
(ii) लम्ब रेखाएँ / perpendicular lines
(iii) रेखाखंड / line segment
(iv) वृत्त की त्रिज्या / radius of a circle
(v) वर्ग / square

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)


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Q3. नीचे दी हुई दो अभिधारणाओं पर विचार कीजिए :
Consider two ‘postulates’ given below:

(i) दो भिन्न बिंदु A और B दिए रहने पर, एक तीसरा बिंदु C ऐसा विद्यमान है जो A और B के बीच स्थित होता है।
Given any two distinct points A and B, there exists a third point C which is in between A and B.

(ii) यहाँ कम से कम ऐसे तीन बिंदु विद्यमान हैं कि वे एक रेखा पर स्थित नहीं हैं।
There exist at least three points that are not on the same line.

क्या इन अभिधारणाओं में कोई अपरिभाषित शब्द हैं? क्या ये अभिधारणाएँ अविरोधी हैं? क्या ये यूक्लिड की अभिधारणाओं से प्राप्त होती हैं? स्पष्ट कीजिए।
Do these postulates contain any undefined terms? Are these postulates consistent? Do they follow from Euclid’s postulates? Explain.

 Q4. यदि दो बिंदुओं A और B के बीच एक बिंदु C ऐसा स्थित है कि AC = BC है, तो सिद्ध कीजिए कि AC = ½ AB है। एक आकृति खींच कर इसे स्पष्ट कीजिए।

If a point C lies between two points A and B such that AC = BC, then prove that AC = ½ AB. Explain by drawing the figure.

Q5. प्रश्न 4 में, C रेखाखंड AB का एक मध्य-बिंदु कहलाता है। सिद्ध कीजिए कि एक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-बिंदु होता है।

In Question 4, point C is called a mid-point of line segment AB. Prove that every line segment has one and only one mid-point.

Q6. आकृति 5.10 में, यदि AC = BD है, तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD है।
In Fig. 5.10, if AC = BD, then prove that AB = CD.

(आकृति 5.10 / Fig. 5.10)

Q7. यूक्लिड की अभिगृहीतों की सूची में दिया हुआ अभिगृहीत 5 एक सर्वव्यापी सत्य क्यों माना जाता है? (ध्यान दीजिए कि यह प्रश्न पाँचवीं अभिधारणा से संबंधित नहीं है।)
Why is Axiom 5, in the list of Euclid’s axioms, considered a ‘universal truth’? (Note that the question is not about the fifth postulate.)

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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