NCERT Class 9 Linear Equations in Two Variables (Chapter 4)
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NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 4 Linear Equations in Two Variables
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NCERT Solutions For Class 9 Maths Chapter 4 –
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Chapter 4
LINEAR EQUATIONS IN TWO VARIABLES
(दो चरों वाले रैखिक समीकरण)
Introduction to Linear Equations in Two Variables | दो चरों वाले रैखिक समीकरण का परिचय
(Class 9 / कक्षा 9)
You have already learned about linear equations in one variable, like x + 5 = 10. Now, we will explore equations that involve two variables, like x and y.
आप एक चर वाले रैखिक समीकरणों (linear equations in one variable) के बारे में पहले ही सीख चुके हैं, जैसे x + 5 = 10। अब, हम उन समीकरणों के बारे में जानेंगे जिनमें x और y जैसे दो चर शामिल होते हैं।
1. What is a Linear Equation in Two Variables? | दो चरों वाला रैखिक समीकरण क्या है?
Let's break down the name: आइए इसके नाम को समझते हैं:
Equation (समीकरण): An expression with an equals sign (=). एक व्यंजक जिसमें बराबर (=) का चिन्ह हो।
Two Variables (दो चर): It uses two different variables, usually x and y. इसमें दो अलग-अलग चरों का उपयोग होता है, आमतौर पर x और y।
Linear (रैखिक): The highest power (degree) of each variable is 1. This means you won't see terms like x², y³, or xy. प्रत्येक चर की उच्चतम घात (power) 1 होती है। इसका मतलब है कि आपको x², y³, या xy जैसे पद नहीं दिखेंगे।
So, a linear equation in two variables is an equation that can be written in a specific standard form, involving two variables, each with a power of 1. इसलिए, दो चरों वाला रैखिक समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसे एक विशिष्ट मानक रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें दो चर शामिल होते हैं और प्रत्येक की घात 1 होती है।
2. The Standard Form | मानक रूप
The standard form of a linear equation in two variables is: दो चरों वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप है:
ax + by + c = 0
Where: जहाँ:
x and y are the variables (चर).
a, b, and c are real numbers (वास्तविक संख्याएँ).
The key condition is that a and b are not both zero. (सबसे महत्वपूर्ण शर्त यह है कि a और b दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं).
Example (उदाहरण): Consider the equation 2x + 3y = 6. समीकरण 2x + 3y = 6 पर विचार करें।
To write it in standard form, we move all terms to one side: इसे मानक रूप में लिखने के लिए, हम सभी पदों को एक तरफ ले जाते हैं: 2x + 3y - 6 = 0
Here, a = 2, b = 3, and c = -6. यहाँ, a = 2, b = 3, और c = -6 है।
3. What is a "Solution"? | समीकरण का "हल" क्या है?
For a linear equation in one variable like x - 2 = 0, the solution is a single value: x = 2. एक चर वाले रैखिक समीकरण जैसे x - 2 = 0 के लिए, हल एक एकल मान होता है: x = 2।
For a linear equation in two variables, a solution is a pair of values, one for x and one for y, that makes the equation true. We write this pair as an ordered pair (x, y). दो चरों वाले रैखिक समीकरण के लिए, एक हल मानों का एक जोड़ा होता है, एक x के लिए और एक y के लिए, जो समीकरण को सत्य बनाता है। हम इस जोड़े को एक क्रमित युग्म (x, y) के रूप में लिखते हैं।
Example (उदाहरण): Let's take the equation x + y = 5. आइए समीकरण x + y = 5 लेते हैं।
Is (2, 3) a solution? Let's check: 2 + 3 = 5. Yes, it is! क्या (2, 3) एक हल है? जाँच करते हैं: 2 + 3 = 5। हाँ, यह है!
Is (1, 4) a solution? Let's check: 1 + 4 = 5. Yes, it is! क्या (1, 4) एक हल है? जाँच करते हैं: 1 + 4 = 5। हाँ, यह है!
Is (5, 0) a solution? Let's check: 5 + 0 = 5. Yes, it is! क्या (5, 0) एक हल है? जाँच करते हैं: 5 + 0 = 5। हाँ, यह है!
Is (1, 2) a solution? Let's check: 1 + 2 = 3. No, it is not a solution because 3 ≠ 5. क्या (1, 2) एक हल है? जाँच करते हैं: 1 + 2 = 3। नहीं, यह एक हल नहीं है क्योंकि 3 ≠ 5।
4. Infinite Solutions and The Graph | अनंत हल और आलेख
A very important concept is that a linear equation in two variables has infinitely many solutions. एक बहुत ही महत्वपूर्ण अवधारणा यह है कि दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं (infinitely many solutions)।
And here is the connection to geometry: और यहाँ ज्यामिति से इसका संबंध है:
The graph of every linear equation in two variables is a straight line. दो चरों वाले प्रत्येक रैखिक समीकरण का आलेख (graph) एक सरल रेखा (straight line) होता है।
Every point on that line represents a solution (x, y) to the equation. Since a line consists of an infinite number of points, the equation has an infinite number of solutions. उस रेखा पर प्रत्येक बिंदु समीकरण का एक हल (x, y) दर्शाता है। चूँकि एक रेखा में अनंत बिंदु होते हैं, इसलिए समीकरण के अनंत हल होते हैं।
5. How to Find Solutions? | हल कैसे ज्ञात करें?
It's easy to find solutions. Just follow these steps: हल खोजना आसान है। बस इन चरणों का पालन करें:
Choose any value you like for one variable (e.g., x). The easiest is often x = 0. एक चर के लिए अपनी पसंद का कोई भी मान चुनें (जैसे, x)। सबसे आसान अक्सर x = 0 होता है।
Substitute that value into the equation. उस मान को समीकरण में रखें।
Solve the equation to find the value of the other variable (y). दूसरे चर (y) का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को हल करें।
Example (उदाहरण): Find two solutions for 2x + y = 7 2x + y = 7 के लिए दो हल ज्ञात कीजिए
Step 1: Let x = 0. x = 0 लेते हैं। 2(0) + y = 7 0 + y = 7 y = 7 So, one solution is (0, 7). तो, एक हल (0, 7) है।
Step 2: Let x = 1. x = 1 लेते हैं। 2(1) + y = 7 2 + y = 7 y = 7 - 2 y = 5 So, another solution is (1, 5). तो, दूसरा हल (1, 5) है।
You can find as many solutions as you want this way! To draw the line on a graph, you only need two such points. आप इस तरह से जितने चाहें उतने हल ढूंढ सकते हैं! ग्राफ पर रेखा खींचने के लिए, आपको केवल ऐसे दो बिंदुओं की आवश्यकता होती है।
Exercise 4.1
Q1. एक नोटबुक की कीमत एक कलम की कीमत से दो गुनी है। इस कथन को निरूपित करने के लिए दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण लिखिए। (संकेत : मान लीजिए, नोटबुक की कीमत x रु है और कलम की कीमत y रु है)। The cost of a notebook is twice the cost of a pen. Write a linear equation in two variables to represent this statement. (Take the cost of a notebook to be ₹ x and that of a pen to be ₹ y).
Q2. निम्नलिखित रैखिक समीकरणों को ax + by + c = 0 के रूप में व्यक्त कीजिए और प्रत्येक स्थिति में a, b और c के मान बताइए: Express the following linear equations in the form ax + by + c = 0 and indicate the values of a, b and c in each case:
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
DOWNLOAD SOLUTION PDF (LECTURE -1)
Exercise 4.2
Q1. निम्नलिखित विकल्पों में कौन-सा विकल्प सत्य है, और क्यों? Which one of the following options is true, and why?
y = 3x + 5 का / has (i) एक अद्वितीय हल है / a unique solution, (ii) केवल दो हल हैं / only two solutions, (iii) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं / infinitely many solutions
Q2. निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक समीकरण के चार हल लिखिए: Write four solutions for each of the following equations:
(i) 2x + y = 7 (ii) πx + y = 9 (iii) x = 4y
Q3. बताइए कि निम्नलिखित हलों में कौन-कौन समीकरण x - 2y = 4 के हल हैं और कौन-कौन हल नहीं हैं : Check which of the following are solutions of the equation x − 2y = 4 and which are not:
Q4. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि x = 2, y = 1 समीकरण 2x + 3y = k का एक हल हो। Find the value of k, if x = 2, y = 1 is a solution of the equation 2x + 3y = k.
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
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