NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 Polynomial
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NCERT Solutions For Class 9 Maths Chapter 2 –
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Chapter 2
POLYNOMIAL
(बहुपद)
Introduction to Polynomials (Class 9) | बहुपद का परिचय (कक्षा 9)
Hello! Let's start learning about a very important topic in algebra called "Polynomials". नमस्ते! चलिए बीजगणित (algebra) के एक बहुत ही महत्वपूर्ण विषय "बहुपद" के बारे में सीखना शुरू करते हैं।
1. What is a Polynomial? | बहुपद क्या है?
In English: A polynomial is an algebraic expression made up of variables (like x, y), constants (like 2, -5, 7), and exponents, combined using addition, subtraction, and multiplication.
The most important rule: The exponents (or powers) of the variables must be whole numbers (0, 1, 2, 3, ...).
Example:2x² + 5x - 3 is a polynomial.
In Hindi: बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक (algebraic expression) है जिसमें चर (जैसे x, y), अचर (जैसे 2, -5, 7) और घातांक (exponents) होते हैं, जो जोड़, घटाव और गुणा के द्वारा जुड़े होते हैं।
सबसे महत्वपूर्ण नियम: चर (variable) की घात (power) हमेशा एक पूर्ण संख्या (Whole Number) होनी चाहिए (जैसे 0, 1, 2, 3...)।
उदाहरण:2x² + 5x - 3 एक बहुपद है।
2. Building Blocks of a Polynomial | बहुपद के अंग
Let's break down our example: 2x² + 5x - 3
English Term
Hindi Term
Example from 2x² + 5x - 3
Explanation
Terms
पद
2x², 5x, -3
The parts of the polynomial separated by + or - signs.
Coefficients
गुणांक
2 (from 2x²), 5 (from 5x)
The number multiplied with the variable.
Variable
चर
x
The letter whose value can change.
Constant
अचर
-3
The term with no variable. Its value is fixed.
Exponent
घात (या घातांक)
2 (from x²), 1 (from x)
The power of the variable in a term.
3. What is NOT a Polynomial? | क्या बहुपद नहीं है?
An expression is NOT a polynomial if: कोई व्यंजक बहुपद नहीं होता है यदि:
The variable's exponent is negative. (चर की घात ऋणात्मक हो।)
Example: x⁻² + 3 is not a polynomial.
The variable is in the denominator. (चर हर में हो।)
Example: 1/x + 2 is not a polynomial, because 1/x can be written as x⁻¹.
The variable's exponent is a fraction. (चर की घात भिन्न हो।)
Example: √x + 5 is not a polynomial, because √x can be written as x¹/².
4. Degree of a Polynomial | बहुपद की घात
In English: The "degree" of a polynomial is the highest exponent of the variable in the polynomial.
3x⁷ - 4x² + x - 1 → The highest power is 7. So, the degree is 7.
5y - 2 → The highest power of y is 1 (y = y¹). So, the degree is 1.
8 → This can be written as 8x⁰. So, the degree is 0.
In Hindi: किसी बहुपद की "घात" उस बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात (highest power) होती है।
3x⁷ - 4x² + x - 1 → सबसे बड़ी घात 7 है। इसलिए, घात 7 है।
5y - 2 → y की सबसे बड़ी घात 1 है (y = y¹)। इसलिए, घात 1 है।
8 → इसे 8x⁰ लिखा जा सकता है। इसलिए, घात 0 है।
5. Types of Polynomials | बहुपदों के प्रकार
We can classify polynomials in two ways: हम बहुपदों को दो तरीकों से वर्गीकृत कर सकते हैं:
A. Based on the Number of Terms (पदों की संख्या के आधार पर)
English Type
Hindi Type
Meaning
Example
Monomial
एकपदी
1 term (एक पद)
5x, 7, 2y²
Binomial
द्विपदी
2 terms (दो पद)
x + 2, 3y² - 5
Trinomial
त्रिपदी
3 terms (तीन पद)
x² + 2x + 1
B. Based on the Degree (घात के आधार पर)
English Type
Hindi Type
Degree (घात)
Example
Constant Polynomial
अचर बहुपद
Degree 0
7, -10, 4
Linear Polynomial
रैखिक बहुपद
Degree 1
x - 5, 2y + 3
Quadratic Polynomial
द्विघात बहुपद
Degree 2
2x² + 5x - 3, y² - 9
Cubic Polynomial
त्रिघात बहुपद
Degree 3
4x³ - x + 2, z³ + 8
6. Zero of a Polynomial | बहुपद का शून्यक
In English: A "zero" of a polynomial is a value of the variable that makes the value of the polynomial equal to zero.
Let's take the polynomial p(x) = x - 5.
If we put x = 5, then p(5) = 5 - 5 = 0.
Since the polynomial becomes 0 when x = 5, we say that 5 is the zero of the polynomial .
In Hindi: बहुपद का "शून्यक", चर (variable) का वह मान होता है जिसे बहुपद में रखने पर बहुपद का मान शून्य (0) हो जाता है।
एक बहुपद लेते हैं p(x) = x - 5।
यदि हम x = 5 रखते हैं, तो p(5) = 5 - 5 = 0।
चूंकि x = 5 रखने पर बहुपद का मान 0 हो जाता है, हम कहते हैं कि 5, बहुपद ।
Hope this introduction helps you understand the basics of polynomials! आशा है कि इस परिचय से आपको बहुपद की मूल बातें समझने में मदद मिलेगी
Exercise 2.1
Q1. निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन-कौन नहीं हैं? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए : Which of the following expressions are polynomials in one variable and which are not? State reasons for your answer.
Q5. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में कौन-कौन बहुपद रैखिक हैं, कौन-कौन द्विघाती हैं और कौन-कौन त्रिघाती हैं: Classify the following as linear, quadratic and cubic polynomials:
(i) x² + x (ii) x - x³ (iii) y + y² + 4 (iv) 1 + x (v) 3t (vi) r² (vii) 7x³
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
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Exercise 2.2
Q1. निम्नलिखित पर बहुपद 5x - 4x² + 3 के मान ज्ञात कीजिए; Find the value of the polynomial 5x − 4x² + 3 at
(i) x = 0 (ii) x = -1 (iii) x = 2
Q2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए p(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए: Find p(0), p(1) and p(2) for each of the following polynomials:
(i) p(y) = y² − y + 1 (ii) p(t) = 2 + t + 2t² − t³ (iii) p(x) = x³ (iv) p(x) = (x − 1)(x + 1)
Q3. सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं: Verify whether the following are zeroes of the polynomial, indicated against them.
(i) p(x) = 3x + 1; x = -1/3 (ii) p(x) = 5x - π; x = 4/5 (iii) p(x) = x² - 1; x = 1, -1 (iv) p(x) = (x + 1)(x - 2); x = -1, 2 (v) p(x) = x²; x = 0 (vi) p(x) = lx + m; x = -m/l (vii) p(x) = 3x² - 1; x = -1/√3, 2/√3 (viii) p(x) = 2x + 1; x = 1/2
Q4. निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए: Find the zero of the polynomial in each of the following cases:
(i) p(x) = x + 5 (ii) p(x) = x - 5 (iii) p(x) = 2x + 5 (iv) p(x) = 3x - 2 (v) p(x) = 3x (vi) p(x) = ax; a ≠ 0 (vii) p(x) = cx + d; c ≠ 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं। (c ≠ 0, c, d are real numbers.)
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
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Exercise 2.3
Q1. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x + 1 है Determine which of the following polynomials has (x + 1) a factor :
(i) x³ + x² + x + 1 (ii) x⁴ + x³ + x² + x + 1 (iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1 (iv) x³ - x² - (2 + √2)x + √2
Q2. गुणनखंड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहीं: Use the Factor Theorem to determine whether g(x) is a factor of p(x) in each of the following cases:
(i) p(x) = 2x³ + x² - 2x - 1, g(x) = x + 1 (ii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2 (iii) p(x) = x³ - 4x² + x + 6, g(x) = x - 3
Q3. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x - 1), p(x) का एक गुणनखंड हो : Find the value of k, if x − 1 is a factor of p(x) in each of the following cases:
(i) p(x) = x² + x + k (ii) p(x) = 2x² + kx + √2 (iii) p(x) = kx² - √2x + 1 (iv) p(x) = kx² - 3x + k
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
Q12. सत्यापित कीजिए: Verify that x³ + y³ + z³ - 3xyz = (1/2)(x + y + z)[(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²]
Q13. यदि x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x³ + y³ + z³ = 3xyz है। If x + y + z = 0, show that x³ + y³ + z³ = 3xyz.
Q14. वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए: Without actually calculating the cubes, find the value of each of the following:
Q15. नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिए: Give possible expressions for the length and breadth of each of the following rectangles, in which their areas are given:
(i) क्षेत्रफल (Area): 25a² - 35a + 12 (ii) क्षेत्रफल (Area): 35y² + 13y - 12
Q16. घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं कि, विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं? What are the possible expressions for the dimensions of the cuboids whose volumes are given below?
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