NCERT Class 9 Surface Areas and Volumes (Chapter 11)

 



NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 11 Surface Areas and Volumes


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NCERT Solutions For Class 9 Maths Chapter 11 – 


Master the art of three-dimensional geometry with our definitive NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 11, Surface Areas and Volumes. This crucial chapter on mensuration delves into the intricate calculations for key 3D shapes such as the cube, cuboid, right circular cylinder, cone, and sphere. Our guide is expertly designed to help you conquer every formula and application, whether you're calculating the Total Surface Area (TSA), Curved Surface Area (CSA), or the Volume of these solids. These step-by-step solutions are instrumental for building the strong conceptual clarity needed to ace your UP Board and CBSE Class 9 examinations. Authored by veteran educators and rigorously reviewed for accuracy, this resource provides a comprehensive walkthrough for every single problem in your NCERT Class 9 textbook. Fully compliant with the latest 2025-26 syllabus and structured precisely according to the official exam pattern, this guide is your ultimate tool for achieving excellence in Surface Areas and Volumes.

Chapter 11 

SURFACE AREAS AND VOLUMES

(पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन)

Introduction to Surface Areas and Volumes | पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन का परिचय

(Class 9 / कक्षा 9)

Welcome! So far in geometry, you have mostly dealt with flat, 2D shapes like squares, rectangles, and circles. Now, we move into the three-dimensional (3D) world. This chapter is about measuring the properties of solid objects that have length, breadth, and height.
आपका स्वागत है! ज्यामिति में अब तक आपने ज्यादातर सपाट, 2D आकृतियों जैसे वर्ग, आयत और वृत्त के बारे में पढ़ा है। अब, हम त्रि-विमीय (3D) दुनिया में प्रवेश करेंगे। यह अध्याय उन ठोस वस्तुओं के गुणों को मापने के बारे में है जिनकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई होती है।

1. The Two Key Concepts | दो मुख्य अवधारणाएँ

To understand this chapter, you must be very clear about the difference between "Surface Area" and "Volume".
इस अध्याय को समझने के लिए, आपको "पृष्ठीय क्षेत्रफल" और "आयतन" के बीच का अंतर बहुत स्पष्ट रूप से पता होना चाहिए।

Surface Area (पृष्ठीय क्षेत्रफल)

  • What it is: It is the sum of the areas of all the outside surfaces of a 3D object.
    यह क्या है: यह किसी 3D वस्तु की सभी बाहरी सतहों (पृष्ठों) के क्षेत्रफल का योग है।

  • Think of it like: The amount of wrapping paper you need to cover a gift box completely.
    इसे ऐसे सोचें: किसी उपहार के डिब्बे को पूरी तरह से ढकने के लिए आवश्यक रैपिंग पेपर की मात्रा।

  • Units: It is measured in square units (like cm², m²).
    इकाई: इसे वर्ग इकाई (जैसे cm², m²) में मापा जाता है।

Volume (आयतन)

  • What it is: It is the amount of space that a 3D object occupies or can hold inside it.
    यह क्या है: यह वह स्थान है जो कोई 3D वस्तु घेरती है या अपने अंदर धारण कर सकती है।

  • Think of it like: The amount of water, sand, or air you can fill inside that gift box.
    इसे ऐसे सोचें: उस उपहार के डिब्बे के अंदर भरे जा सकने वाले पानी, रेत या हवा की मात्रा।

  • Units: It is measured in cubic units (like cm³, m³).
    इकाई: इसे घन इकाई (जैसे cm³, m³) में मापा जाता है।

2. Types of Surface Area | पृष्ठीय क्षेत्रफल के प्रकार

For most shapes, we talk about two types of surface area:
अधिकांश आकृतियों के लिए, हम दो प्रकार के पृष्ठीय क्षेत्रफल की बात करते हैं:

  • Lateral or Curved Surface Area (LSA or CSA)
    This is the area of the faces excluding the top and bottom bases.

    • "Lateral" is used for shapes with flat sides (like a cube).

    • "Curved" is used for shapes with curved sides (like a cylinder).
      पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (LSA या CSA)
      यह ऊपरी और निचले आधारों को छोड़कर बाकी फलकों (सतहों) का क्षेत्रफल है।

    • "पार्श्व" का उपयोग सपाट भुजाओं वाली आकृतियों (जैसे घन) के लिए किया जाता है।

    • "वक्र" का उपयोग घुमावदार भुजाओं वाली आकृतियों (जैसे बेलन) के लिए किया जाता है।

  • Total Surface Area (TSA)
    This is the area of all the surfaces, including the top and bottom.
    कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA)
    यह ऊपरी और निचले आधार सहित सभी सतहों का क्षेत्रफल है।

3. The Shapes and Their Formulas | आकृतियाँ और उनके सूत्र

Here are the 3D shapes you will study in this chapter, along with their formulas.
यहाँ वे 3D आकृतियाँ हैं जिनका आप इस अध्याय में अध्ययन करेंगे, साथ ही उनके सूत्र भी दिए गए हैं।

1. Cuboid (घनाभ)

  • A box-like shape with length (l), breadth (b), and height (h).

  • एक बॉक्स जैसी आकृति जिसकी लंबाई (l), चौड़ाई (b) और ऊँचाई (h) होती है।

    • LSA = 2(l + b)h

    • TSA = 2(lb + bh + hl)

    • Volume (आयतन) = l × b × h

2. Cube (घन)

  • A special cuboid where all sides (a) are equal. (l = b = h = a)

  • एक विशेष घनाभ जहाँ सभी भुजाएँ (a) बराबर होती हैं। (l = b = h = a)

    • LSA = 4a²

    • TSA = 6a²

    • Volume (आयतन) = a³

3. Right Circular Cylinder (लंब वृत्तीय बेलन)

  • A shape like a can or a pipe, with radius (r) and height (h).

  • एक कैन या पाइप जैसी आकृति, जिसकी त्रिज्या (r) और ऊँचाई (h) होती है।

    • CSA = 2πrh

    • TSA = 2πr(r + h)

    • Volume (आयतन) = πr²h

4. Right Circular Cone (लंब वृत्तीय शंकु)

  • A shape like an ice-cream cone, with radius (r), height (h), and slant height (l).

  • एक आइसक्रीम कोन जैसी आकृति, जिसकी त्रिज्या (r), ऊँचाई (h) और तिर्यक ऊँचाई (l) होती है।

  • Note: Slant height `l = √(r² + h²)

  • ध्यान दें: तिर्यक ऊँचाई `l = √(r² + h²)

    • CSA = πrl

    • TSA = πr(r + l)

    • Volume (आयतन) = (1/3)πr²h

5. Sphere (गोला)

  • A perfectly round 3D shape like a ball, with radius (r). It has only one surface.

  • एक गेंद जैसी पूरी तरह से गोल 3D आकृति, जिसकी त्रिज्या (r) होती है। इसकी केवल एक ही सतह होती है।

    • Surface Area (पृष्ठीय क्षेत्रफल) = 4πr² (Here, LSA = TSA)

    • Volume (आयतन) = (4/3)πr³

6. Hemisphere (अर्धगोला)

  • Exactly half of a sphere, like a bowl, with radius (r).

  • एक गोले का ठीक आधा, एक कटोरे की तरह, जिसकी त्रिज्या (r) होती है।

    • CSA = 2πr² (The curved part / घुमावदार हिस्सा)

    • TSA = 3πr² (Curved part + flat circular top / घुमावदार हिस्सा + सपाट वृत्तीय शीर्ष)

    • Volume (आयतन) = (2/3)πr³

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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Exercise 11.1

Q1. एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 cm है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 cm है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Diameter of the base of a cone is 10.5 cm and its slant height is 10 cm. Find its curved surface area.

Q2. एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी तिर्यक ऊँचाई 21 m है और आधार का व्यास 24 m है।
Find the total surface area of a cone, if its slant height is 21 m and diameter of its base is 24 m.

Q3. एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 cm² है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 cm है। ज्ञात कीजिए :
(i) आधार की त्रिज्या
(ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
Curved surface area of a cone is 308 cm² and its slant height is 14 cm. Find
(i) radius of the base and
(ii) total surface area of the cone.

Q4. शंकु के आकार का एक तंबू 10 m ऊँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 24 m है। ज्ञात कीजिए :
(i) तंबू की तिर्यक ऊँचाई
(ii) तंबू में लगे केनवास (canvas) की लागत, यदि 1 m² केनवास की लागत 70 रुपए है।
A conical tent is 10 m high and the radius of its base is 24 m. Find
(i) slant height of the tent.
(ii) cost of the canvas required to make the tent, if the cost of 1 m² canvas is ₹ 70.

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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Q5. 8 m ऊँचाई और आधार की त्रिज्या 6 m वाले एक शंकु के आकार का तंबू बनाने में 3 m चौड़े तिरपाल की कितनी लंबाई लगेगी? यह मान कर चलिए कि इसकी सिलाई और कटाई में 20 cm तिरपाल अतिरिक्त लगेगा। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
What length of tarpaulin 3 m wide will be required to make conical tent of height 8 m and base radius 6 m? Assume that the extra length of material that will be required for stitching margins and wastage in cutting is approximately 20 cm (Use π = 3.14).

Q6. शंकु के आधार की एक गुंबज की तिर्यक ऊँचाई और आधार व्यास क्रमशः 25 m और 14 m हैं। इसकी वक्र पृष्ठ पर ₹ 210 प्रति 100 m² की दर से सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
The slant height and base diameter of a conical tomb are 25 m and 14 m respectively. Find the cost of white-washing its curved surface at the rate of ₹ 210 per 100 m².

Q7. एक जोकर की टोपी एक शंकु के आकार की है, जिसके आधार की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 24 cm है। इसी प्रकार की 10 टोपियाँ बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
A joker’s cap is in the form of a right circular cone of base radius 7 cm and height 24 cm. Find the area of the sheet required to make 10 such caps.

Q8. किसी बस स्टाप को पुराने गत्ते से बने 50 खोखले शंकुओं द्वारा सड़क से अलग किया हुआ है। प्रत्येक शंकु के आधार का व्यास 40 cm है और ऊँचाई 1 m है। यदि इन शंकुओं की बाहरी पृष्ठों को पेंट करवाना है और पेंट की दर ₹ 12 प्रति m² है, तो इनको पेंट कराने में कितनी लागत आएगी? (π = 3.14 और √1.04 = 1.02 का प्रयोग कीजिए।)
A bus stop is barricaded from the remaining part of the road, by using 50 hollow cones made of recycled cardboard. Each cone has a base diameter of 40 cm and height 1 m. If the outer side of each of the cones is to be painted and the cost of painting is ₹ 12 per m², what will be the cost of painting all these cones? (Use π = 3.14 and take √1.04 = 1.02)

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)


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Exercise 11.2

Q1. निम्न त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
Find the surface area of a sphere of radius:
(i) 10.5 cm
(ii) 5.6 cm
(iii) 14 cm

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

DOWNLOAD SOLUTION PDF (LECTURE -4) 


Q2. निम्न व्यास वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
Find the surface area of a sphere of diameter:
(i) 14 cm
(ii) 21 cm
(iii) 3.5 m

Q3. 10 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए।)
Find the total surface area of a hemisphere of radius 10 cm. (Use π = 3.14)

Q4. एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर, उसकी त्रिज्या 7 cm से 14 cm हो जाती है। इन दोनों स्थितियों में, गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
The radius of a spherical balloon increases from 7 cm to 14 cm as air is being pumped into it. Find the ratio of surface areas of the balloon in the two cases.

Q5. पीतल से बने एक अर्धगोलाकार कटोरी का आंतरिक व्यास 10.5 cm है। ₹16 प्रति 100 cm² की दर से इसके आंतरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
A hemispherical bowl made of brass has inner diameter 10.5 cm. Find the cost of tin-plating it on the inside at the rate of ₹ 16 per 100 cm².

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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Q6. उस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm² है।
Find the radius of a sphere whose surface area is 154 cm².

Q7. चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। इन दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
The diameter of the moon is approximately one fourth of the diameter of the earth. Find the ratio of their surface areas.

Q8. एक अर्धगोलाकार कटोरा 0.25 cm मोटी स्टील से बना है। इस कटोरी की आंतरिक त्रिज्या 5 cm है। कटोरी का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
A hemispherical bowl is made of steel, 0.25 cm thick. The inner radius of the bowl is 5 cm. Find the outer curved surface area of the bowl.

Q9. एक लंब वृत्तीय बेलन त्रिज्या r वाले एक गोले को पूर्णतया घेरे हुए है (देखिए आकृति 11.10)। ज्ञात कीजिए:
A right circular cylinder just encloses a sphere of radius r (see Fig. 11.10). Find
(i) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
surface area of the sphere,
(ii) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
curved surface area of the cylinder,
(iii) ऊपर (i) और (ii) में प्राप्त क्षेत्रफलों का अनुपात
ratio of the areas obtained in (i) and (ii).


उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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Exercise 11.3


Q1. उस लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी
Find the volume of the right circular cone with
(i) त्रिज्या 6 cm और ऊँचाई 7 cm है।
radius 6 cm, height 7 cm
(ii) त्रिज्या 3.5 cm और ऊँचाई 12 cm है।
radius 3.5 cm, height 12 cm

Q2. शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरो में धारिता ज्ञात कीजिए जिसकी
Find the capacity in litres of a conical vessel with
(i) त्रिज्या 7 cm और तिर्यक ऊँचाई 25 cm है।
radius 7 cm, slant height 25 cm
(ii) ऊँचाई 12 cm और तिर्यक ऊँचाई 13 cm है।
height 12 cm, slant height 13 cm

Q3. एक शंकु की ऊँचाई 15 cm है। यदि इसका आयतन 1570 cm³ है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 प्रयोग कीजिए।)
The height of a cone is 15 cm. If its volume is 1570 cm³, find the radius of the base. (Use π = 3.14)

Q4. यदि 9 cm ऊँचाई वाले एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 48π cm³ है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
If the volume of a right circular cone of height 9 cm is 48π cm³, find the diameter of its base.

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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Q5. ऊपरी व्यास 3.5 m वाले शंकु के आकार का एक गड्ढा 12 m गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटरों में कितनी है?
A conical pit of top diameter 3.5 m is 12 m deep. What is its capacity in kilolitres?

Q6. एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 9856 cm³ है। यदि इसके आधार का व्यास 28 cm है, तो ज्ञात कीजिए :
The volume of a right circular cone is 9856 cm³. If the diameter of the base is 28 cm, find
(i) शंकु की ऊँचाई
height of the cone
(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई
slant height of the cone
(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
curved surface area of the cone

Q7. भुजाओं 5 cm, 12 cm और 13 cm वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 cm के परित घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
A right triangle ABC with sides 5 cm, 12 cm and 13 cm is revolved about the side 12 cm. Find the volume of the solid so obtained.

Q8. यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 cm के परित घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्नों 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
If the triangle ABC in the Question 7 above is revolved about the side 5 cm, then find the volume of the solid so obtained. Find also the ratio of the volumes of the two solids obtained in Questions 7 and 8.

Q9. गेहूँ की एक ढेरी 10.5 m व्यास और ऊँचाई 3 m वाले एक शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढेरी को वर्षा से बचाने के लिए केनवास से ढका जाना है। वाँछित केनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
A heap of wheat is in the form of a cone whose diameter is 10.5 m and height is 3 m. Find its volume. The heap is to be covered by canvas to protect it from rain. Find the area of the canvas required.

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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Exercise 11.4

Q1. उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्न है :
Find the volume of a sphere whose radius is
(i) 7 cm
(ii) 0.63 m

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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Q2. उस ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्न है :
Find the amount of water displaced by a solid spherical ball of diameter
(i) 28 cm
(ii) 0.21 m

Q3. धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 cm है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति cm³ है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
The diameter of a metallic ball is 4.2 cm. What is the mass of the ball, if the density of the metal is 8.9 g per cm³?

Q4. चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है?
The diameter of the moon is approximately one-fourth of the diameter of the earth. What fraction of the volume of the earth is the volume of the moon?

Q5. व्यास 10.5 cm वाले एक अर्धगोलाकार कटोर में कितने लीटर दूध आ सकता है?
How many litres of milk can a hemispherical bowl of diameter 10.5 cm hold?

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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Q6. एक अर्धगोलाकार टंकी 1 cm मोटी एक लोहे की चादर (sheet) से बनी है। यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1 m है, तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
A hemispherical tank is made up of an iron sheet 1 cm thick. If the inner radius is 1 m, then find the volume of the iron used to make the tank.

Q7. उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm² है।
Find the volume of a sphere whose surface area is 154 cm².

Q8. किसी भवन का गुंबद एक अर्धगोले के आकार का है। अंदर से, इसमें सफेदी कराने में ₹498.96 व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर ₹2 प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात कीजिए:
A dome of a building is in the form of a hemisphere. From inside, it was white-washed at the cost of ₹ 4989.60. If the cost of white-washing is ₹ 20 per square metre, find the
(i) गुंबद का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
inside surface area of the dome,
(ii) गुंबद के अंदर की हवा का आयतन
volume of the air inside the dome.

Q9. लोहे के सत्ताइस ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या r है और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S' है। ज्ञात कीजिए:
Twenty seven solid iron spheres, each of radius r and surface area S are melted to form a sphere with surface area S'. Find the
(i) नए गोले की त्रिज्या r'
radius r' of the new sphere,
(ii) S और S' का अनुपात
ratio of S and S'.

Q10. दवाई का एक कैपसूल (capsule) 3.5 mm व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैपसूल को भरने के लिए कितनी दवाई (mm³ में) की आवश्यकता होगी?
A capsule of medicine is in the shape of a sphere of diameter 3.5 mm. How much medicine (in mm³) is needed to fill this capsule?

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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