NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 Heron's Formula
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NCERT Solutions For Class 9 Maths Chapter 10 –
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Chapter 10
HERON’S FORMULA
(हीरोन का सूत्र)
Introduction to Heron's Formula | हीरोन के सूत्र का परिचय
(Class 9 / कक्षा 9)
You already know how to find the area of a triangle using the standard formula: आप त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने का एक सामान्य सूत्र पहले से ही जानते हैं:
Area = ½ × base × height क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई
This formula works perfectly, but there's a catch: you need to know the height of the triangle. What if you are only given the lengths of the three sides and not the height? How would you find the area then? यह सूत्र पूरी तरह से काम करता है, लेकिन इसमें एक समस्या है: आपको त्रिभुज की ऊँचाई पता होनी चाहिए। क्या हो यदि आपको त्रिभुज की ऊँचाई न दी गई हो, और केवल तीनों भुजाओं की लंबाई दी गई हो? तब आप क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करेंगे?
This is where a brilliant formula from a Greek mathematician, Heron of Alexandria, comes to our rescue. यहीं पर एक यूनानी गणितज्ञ, अलेक्जेंड्रिया के हीरोन, का एक शानदार सूत्र हमारी मदद के लिए आता है।
1. What is Heron's Formula? | हीरोन का सूत्र क्या है?
Heron's formula gives us a way to calculate the area of any triangle if we know the lengths of its three sides. It doesn't require the height at all. हीरोन का सूत्र हमें किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का एक तरीका देता है, यदि हम उसकी तीनों भुजाओं की लंबाई जानते हैं। इसके लिए ऊँचाई की बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं होती है।
The formula is: सूत्र इस प्रकार है:
Area (क्षेत्रफल) = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
2. Understanding the Terms in the Formula | सूत्र में पदों को समझना
Let's break down what each letter in the formula means. Consider a triangle with sides of length a, b, and c. आइए समझते हैं कि सूत्र में प्रत्येक अक्षर का क्या अर्थ है। एक त्रिभुज की कल्पना कीजिए जिसकी भुजाओं की लंबाई a, b, और c है।
English Term
Hindi Term
Symbol (प्रतीक)
Meaning (अर्थ)
Sides
भुजाएँ
a, b, c
The lengths of the three sides of the triangle.<br>त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ।
Perimeter
परिमाप
P
The sum of all sides: P = a + b + c.<br>सभी भुजाओं का योग: P = a + b + c।
Semi-perimeter
अर्द्धपरिमाप
s
Half of the perimeter: s = (a + b + c) / 2.<br>परिमाप का आधा: s = (a + b + c) / 2।
The most important new term here is the semi-perimeter (s). You must calculate this first before you can use the formula. यहाँ सबसे महत्वपूर्ण नया पद अर्द्धपरिमाप (s) है। सूत्र का उपयोग करने से पहले आपको इसकी गणना करनी होगी।
3. Steps to Use Heron's Formula | हीरोन के सूत्र का उपयोग करने के चरण
To find the area of a triangle with sides a, b, and c: a, b, और c भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए:
Calculate the semi-perimeter (s). Add the lengths of the three sides and divide by 2. अर्द्धपरिमाप (s) की गणना करें। तीनों भुजाओं की लंबाई जोड़ें और 2 से भाग दें। s = (a + b + c) / 2
Calculate the differences. Find the values of (s-a), (s-b), and (s-c). अंतर की गणना करें। (s-a), (s-b), और (s-c) का मान ज्ञात करें।
Substitute into the formula. Put the values of s, (s-a), (s-b), and (s-c) into Heron's formula. सूत्र में मान रखें। s, (s-a), (s-b), और (s-c) के मानों को हीरोन के सूत्र में रखें। Area = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
Calculate the final result. Find the square root of the product to get the area. अंतिम परिणाम की गणना करें। क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए गुणनफल का वर्गमूल ज्ञात करें।
4. A Quick Example | एक त्वरित उदाहरण
Let's find the area of a triangle with sides a = 13 cm, b = 14 cm, and c = 15 cm. आइए एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी भुजाएँ a = 13 cm, b = 14 cm, और c = 15 cm हैं।
Step 1: Find the semi-perimeter (s). | अर्द्धपरिमाप (s) ज्ञात करें। s = (13 + 14 + 15) / 2 = 42 / 2 = 21 cm
Step 2: Calculate the differences. | अंतर की गणना करें।
s - a = 21 - 13 = 8 cm
s - b = 21 - 14 = 7 cm
s - c = 21 - 15 = 6 cm
Step 3: Substitute into the formula. | सूत्र में मान रखें। Area = √[21 × 8 × 7 × 6]
Step 4: Calculate the result. | परिणाम की गणना करें। Area = √[(3×7) × (2×2×2) × 7 × (2×3)] Group the same numbers together to find pairs: जोड़े बनाने के लिए समान संख्याओं को एक साथ समूहित करें: Area = √[(2×2) × (2×2) × (3×3) × (7×7)] Area = √[2² × 2² × 3² × 7²] Take one number for each pair out of the square root: वर्गमूल से बाहर प्रत्येक जोड़े के लिए एक संख्या लें: Area = 2 × 2 × 3 × 7 Area = 84 cm²
So, the area of the triangle is 84 cm². इस प्रकार, त्रिभुज का क्षेत्रफल 84 cm² है।
Exercise 10.1
Q1. एक यातायात संकेत बोर्ड पर 'आगे स्कूल है' लिखा है और यह भुजा 'a' वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि संकेत बोर्ड का परिमाप 180 cm है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा? A traffic signal board, indicating ‘SCHOOL AHEAD’, is an equilateral triangle with side ‘a’. Find the area of the signal board, using Heron’s formula. If its perimeter is 180 cm, what will be the area of the signal board?
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
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Q2. किसी फ्लाईओवर (flyover) की त्रिभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवार की भुजाओं की लंबाइयाँ 122 m, 22 m और 120 m हैं (देखिए आकृति 10.6)। इस विज्ञापन से प्रति वर्ष ₹5000 प्रति m² की प्राप्ति होती है। एक कम्पनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए 3 महीने के लिए किराए पर लिया। उसने कुल कितना किराया दिया? The triangular side walls of a flyover have been used for advertisements. The sides of the walls are 122 m, 22 m and 120 m (see Fig. 10.6). The advertisements yield an earning of ₹ 5000 per m² per year. A company hired one of its walls for 3 months. How much rent did it pay?
Q3. किसी पार्क में एक फिसल पट्टी (slide) बनी हुई है। इसकी पार्श्वीय दीवारों (side walls) में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है और उस पर "पार्क को हरा-भरा और साफ रखिए" लिखा हुआ है (देखिए आकृति 10.7)। यदि इस दीवार की विमाएँ 15 m, 11 m और 6 m हैं, तो रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। There is a slide in a park. One of its side walls has been painted in some colour with a message “KEEP THE PARK GREEN AND CLEAN” (see Fig. 10.7). If the sides of the wall are 15 m, 11 m and 6 m, find the area painted in colour.
Q4. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18 cm और 10 cm हैं तथा उसका परिमाप 42 cm है। Find the area of a triangle two sides of which are 18cm and 10cm and the perimeter is 42cm.
Q5. एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12:17:25 है और उसका परिमाप 540 cm है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। Sides of a triangle are in the ratio of 12 : 17 : 25 and its perimeter is 540cm. Find its area.
Q5. एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 cm है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 cm लम्बाई की हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। An isosceles triangle has perimeter 30 cm and each of the equal sides is 12 cm. Find the area of the triangle.
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
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