NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 Number System
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NCERT Solutions For Class 9 Maths Chapter 1 –
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Chapter 1
NUMBER SYSTEMS
(संख्या पद्धति)
Introduction to the Number System | संख्या पद्धति का परिचय
(Class 9 / कक्षा 9)
Welcome! In this chapter, we will explore the different types of numbers that make up our mathematical world. आपका स्वागत है! इस अध्याय में, हम विभिन्न प्रकार की संख्याओं के बारे में जानेंगे जिनसे हमारी गणित की दुनिया बनी है।
1. Basic Number Types | संख्याओं के मूल प्रकार
Natural Numbers (N) | प्राकृत संख्याएँ (N)
These are the counting numbers: {1, 2, 3, 4, ...}
ये गिनती की संख्याएँ हैं: {1, 2, 3, 4, ...}
Whole Numbers (W) | पूर्ण संख्याएँ (W)
Natural numbers along with zero: {0, 1, 2, 3, ...}
प्राकृत संख्याएँ और शून्य: {0, 1, 2, 3, ...}
Integers (Z) | पूर्णांक (Z)
Whole numbers and their negatives: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
पूर्ण संख्याएँ और उनके ऋणात्मक मान: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
2. Rational and Irrational Numbers | परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ
Rational Numbers (Q) | परिमेय संख्याएँ (Q)
A number is called rational if it can be written in the form p/q, where 'p' and 'q' are integers and q ≠ 0. एक संख्या परिमेय कहलाती है यदि उसे p/q के रूप में लिखा जा सके, जहाँ 'p' और 'q' पूर्णांक हैं और q ≠ 0।
A number is called irrational if it cannot be written in the form p/q. Their decimal form is non-terminating and non-repeating. एक संख्या अपरिमेय कहलाती है यदि उसे p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता। इनका दशमलव रूप अनवसानी अनावर्ती होता है।
Examples: √2, √3, √5, π (pi ≈ 3.14159...)
3. Real Numbers (R) | वास्तविक संख्याएँ (R)
If you put all the Rational and Irrational numbers together, you get the set of Real Numbers. यदि आप सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याओं को एक साथ मिला दें, तो आपको वास्तविक संख्याओं का समुच्चय मिलता है।
Can be written as p/q (p/q के रूप में लिखी जा सकती हैं)
1/2, -3, 0.7, 4
Irrational (अपरिमेय)
-
Cannot be written as p/q (p/q के रूप में नहीं लिखी जा सकतीं)
√2, √3, π
Real (वास्तविक)
R
All rational + All irrational numbers
-2, 0, 1/2, √2, π
Exercise 1.1
Q1. क्या शून्य एक परिमेय संख्या है? क्या इसे आप p/q के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है? Is zero a rational number? Can you write it in the form p/q, where p and q are integers and q ≠ 0?
Q2. 3 और 4 के बीच में छः परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए। Find six rational numbers between 3 and 4.
Q3. 3/5 और 4/5 के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए। Find five rational numbers between 3/5 and 4/5.
Q4. नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए। State whether the following statements are true or false. Give reasons for your answers.
(i) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है। (i) Every natural number is a whole number.
(ii) प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है। (ii) Every integer is a whole number.
(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है। (iii) Every rational number is a whole number.
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
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Exercise 1.2
Q1. नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए। State whether the following statements are true or false. Justify your answers.
(i) प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है। (i) Every irrational number is a real number.
(ii) संख्या रेखा का प्रत्येक बिन्दु √m के रूप का होता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है। (ii) Every point on the number line is of the form √m, where m is a natural number.
(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है। (iii) Every real number is an irrational number.
Q2. क्या सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं? यदि नहीं, तो एक ऐसी संख्या के वर्गमूल का उदाहरण दीजिए जो एक परिमेय संख्या है। Are the square roots of all positive integers irrational? If not, give an example of the square root of a number that is a rational number.
Q3. दिखाइए कि संख्या रेखा पर √5 को किस प्रकार निरूपित किया जा सकता है। Show how √5 can be represented on the number line.
Q4. कक्षा के लिए क्रियाकलाप ( वर्गमूल सर्पिल की रचना ) : कागज की एक बड़ी शीट लीजिए और नीचे दी गई विधि से “वर्गमूल सर्पिल” (square root spiral) की रचना कीजिए। सबसे पहले एक बिन्दु O लीजिए और एकक लंबाई का रेखाखंड (line segment) OP₁ खींचिए। एकक लंबाई वाले OP₁ पर लंब रेखाखंड P₁P₂ खींचिए (देखिए आकृति 1.9)। अब OP₂ पर लंब रेखाखंड P₂P₃ खींचिए। तब OP₃ पर लंब रेखाखंड P₃P₄ खींचिए। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए OPₙ₋₁ पर एकक लंबाई वाला लंब रेखाखंड खींचकर आप रेखाखंड Pₙ₋₁Pₙ प्राप्त कर सकते हैं। इस प्रकार आप बिन्दु O, P₁, P₂, P₃,...., Pₙ,....प्राप्त कर लेंगे और उन्हें मिलाकर √2, √3, √4,.... को दर्शाने वाला एक सुंदर सर्पिल प्राप्त कर लेंगे। Classroom activity (Constructing the ‘square root spiral’) : Take a large sheet of paper and construct the ‘square root spiral’ in the following fashion. Start with a point O and draw a line segment OP₁ of unit length. Draw a line segment P₁P₂ perpendicular to OP₁ of unit length (see Fig. 1.9). Now draw a line segment P₂P₃ perpendicular to OP₂. Then draw a line segment P₃P₄ perpendicular to OP₃. Continuing in this manner, you can get the line segment Pₙ₋₁Pₙ by drawing a line segment of unit length perpendicular to OPₙ₋₁. In this manner, you will have created the points P₂, P₃,....., Pₙ,...., and joined them to create a beautiful spiral depicting √2, √3, √4,....
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
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Exercise 1.3
Q1. निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है : Write the following in decimal form and say what kind of decimal expansion each has: (i) 36/100 (ii) 1/11 (iii) 4 1/8 (iv) 3/13 (v) 2/11 (vi) 329/400
Q.2 आप जानते है कि 1/7 = 0.142857̅ है। वास्तव में, लंबा भाग दिए बिना क्या आप यह बता सकते हैं कि 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 के दशमलव प्रसार क्या हैं? यदि हाँ, तो कैसे? [संकेत : 1/7 का मान ज्ञात करते समय शेषफलों का अध्ययन सावधानी से कीजिए।] You know that 1/7 = 0.142857̅. Can you predict what the decimal expansions of 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 are, without actually doing the long division? If so, how? [Hint : Study the remainders while finding the value of 1/7 carefully.]
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
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Q3. निम्नलिखित को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है: Express the following in the form p/q, where p and q are integers and q ≠ 0. (i) 0.6̅ (ii) 0.47̅ (iii) 0.001̅
Q4. 0.99999... को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए। क्या आप अपने उत्तर से आश्चर्यचकित हैं? अपने अध्यापक और कक्षा के सहपाठियों के साथ उत्तर की सार्थकता पर चर्चा कीजिए। Express 0.99999.... in the form p/q. Are you surprised by your answer? With your teacher and classmates discuss why the answer makes sense.
Q5. 1/17 के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावृत्ति खंड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है? अपने उत्तर की जाँच करने के लिए विभाजन-क्रिया कीजिए। What can the maximum number of digits be in the repeating block of digits in the decimal expansion of 1/17? Perform the division to check your answer.
Q6. p/q (q ≠ 0) के रूप की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है और जिसका सांत दशमलव निरूपण (प्रसार) है। क्या आप यह अनुमान लगा सकते है कि q को कौन-सा गुण अवश्य संतुष्ट करना चाहिए? Look at several examples of rational numbers in the form p/q (q ≠ 0), where p and q are integers with no common factors other than 1 and having terminating decimal representations (expansions). Can you guess what property q must satisfy?
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
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Q7. ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हों। Write three numbers whose decimal expansions are non-terminating non-recurring.
Q8. परिमेय संख्याओं 5/7 और 9/11 के बीच की तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए। Find three different irrational numbers between the rational numbers 5/7 and 9/11.
Q9. बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन संख्याएँ अपरिमेय हैं: Classify the following numbers as rational or irrational: (i) √23 (ii) √225 (iii) 0.3796 (iv) 7.478478... (v) 1.101001000100001...
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
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Exercise 1.4
Q1. बताइए नीचे दी गई संख्याओं में कौन-कौन परिमेय हैं और कौन-कौन अपरिमेय हैं: Classify the following numbers as rational or irrational: (i) 2 - √5 (ii) (3 + √23) - √23 (iii) 2√7 / 7√7 (iv) 1/√2 (v) 2π
Q2. निम्नलिखित व्यंजकों में से प्रत्येक व्यंजक को सरल कीजिए: Simplify each of the following expressions: (i) (3 + √3)(2 + √2) (ii) (3 + √3)(3 - √3) (iii) (√5 + √2)² (iv) (√5 - √2)(√5 + √2)
Q3. आपको याद होगा कि π को एक वृत की परिधि (मान लीजिए c) और उसके व्यास (मान लीजिए d) के अनुपात से परिभाषित किया जाता है, अर्थात् π = c/d है। यह इस तथ्य का अंतर्विरोध करता हुआ प्रतीत होता है कि π अपरिमेय है। इस अंतर्विरोध का निराकरण आप किस प्रकार करेंगे? Recall, π is defined as the ratio of the circumference (say c) of a circle to its diameter (say d). That is, π = c/d. This seems to contradict the fact that π is irrational. How will you resolve this contradiction?
Q4. संख्या रेखा पर √9.3 को निरूपित कीजिए। Represent √9.3 on the number line.
Q5. निम्नलिखित के हरों का परिमेयकरण कीजिए: Rationalise the denominators of the following: (i) 1/√7 (ii) 1/(√7 - √6) (iii) 1/(√5 + √2) (iv) 1/(√7 - 2)
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
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Exercise 1.5
Q1. ज्ञात कीजिए: Find: (i) 64¹/² (ii) 32¹/⁵ (iii) 125¹/³
