Linear Equations in Two Variables Class 10 Maths (Chapter 3)
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NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables
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NCERT Solutions For Class 10 Maths Chapter 3 –
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Chapter 3
PAIR OF LINEAR EQUATIONS
IN TWO VARIABLES
(दो चार वाले रैखिक समीकरण युग्म)
Introduction to Pair of Linear Equations in Two Variables | दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का परिचय
(Class 10 / कक्षा 10)
In Class 9, you learned about a single linear equation in two variables (ax + by + c = 0). You discovered that its graph is always a straight line and it has infinitely many solutions. कक्षा 9 में, आपने एक चर वाले रैखिक समीकरण (ax + by + c = 0) के बारे में सीखा था। आपने यह जाना था कि इसका ग्राफ हमेशा एक सरल रेखा होता है और इसके अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।
Now, in Class 10, we take the next logical step: What happens when we have two such equations together? This is called a pair or a system of linear equations. अब, कक्षा 10 में, हम अगला तार्किक कदम उठाते हैं: क्या होता है जब हमारे पास ऐसे दो समीकरण एक साथ होते हैं? इसे रैखिक समीकरणों का युग्म या निकाय कहा जाता है।
1. The Standard Form | मानक रूप
A pair of linear equations in two variables, x and y, can be represented in the standard form: दो चरों x और y में रैखिक समीकरण युग्म को मानक रूप में इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
a₁x + b₁y + c₁ = 0 a₂x + b₂y + c₂ = 0
Where a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ are real numbers, and the key condition is that a₁² + b₁² ≠ 0 and a₂² + b₂² ≠ 0 (which simply means a₁ and b₁ are not both zero, and a₂ and b₂ are not both zero). जहाँ a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ वास्तविक संख्याएँ हैं, और मुख्य शर्त यह है कि a₁² + b₁² ≠ 0 और a₂² + b₂² ≠ 0 (जिसका सीधा सा मतलब है कि a₁ और b₁ दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं, और a₂ और b₂ भी दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं)।
2. What is a "Solution" to the Pair? | युग्म का "हल" क्या है?
A solution to a pair of linear equations is a pair of values, one for x and one for y, i.e., an ordered pair (x, y), which satisfies both equations simultaneously. एक रैखिक समीकरण युग्म का हल, x और y के मानों का एक ऐसा जोड़ा, अर्थात् एक क्रमित युग्म (x, y) होता है, जो दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करता है।
Geometrically, this solution is the point of intersection of the two lines represented by the equations. ज्यामितीय रूप से, यह हल उन समीकरणों द्वारा निरूपित दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।
3. Geometrical Representation and Types of Solutions | ज्यामितीय निरूपण और हलों के प्रकार
When you have two lines in a plane, only three possibilities can occur: जब आपके पास एक तल में दो रेखाएँ होती हैं, तो केवल तीन संभावनाएँ हो सकती हैं:
Case (स्थिति)
Graphical Representation (ग्राफीय निरूपण)
Algebraic Interpretation (बीजगणितीय व्याख्या)
Consistency (संगतता)
1. The lines intersect at one point. <br>(रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं)
Exactly one solution (Unique Solution) <br>केवल एक हल (अद्वितीय हल)
Consistent (संगत)
2. The lines are parallel. <br>(रेखाएँ समांतर हैं)
No solution<br>कोई हल नहीं
Inconsistent (असंगत)
3. The lines are coincident (one line on top of the other). <br>(रेखाएँ संपाती हैं (एक रेखा दूसरी के ऊपर))
Infinitely many solutions<br>अपरिमित रूप से अनेक हल
Dependent and Consistent (आश्रित और संगत)
4. Methods for Solving the Pair | युग्म को हल करने की विधियाँ
In this chapter, you will learn different methods to find the solution(s). इस अध्याय में, आप हल ज्ञात करने की विभिन्न विधियाँ सीखेंगे।
A. Graphical Method (ग्राफीय विधि)
Draw the graphs of both equations on the same graph paper. दोनों समीकरणों के ग्राफ एक ही ग्राफ पेपर पर खींचिए।
The point where the lines intersect is the solution. जिस बिंदु पर रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, वही हल है।
B. Algebraic Methods (बीजगणितीय विधियाँ) These methods find the exact solution without drawing a graph. ये विधियाँ बिना ग्राफ बनाए सटीक हल निकालती हैं।
Substitution Method (प्रतिस्थापन विधि):
Solve one equation for one variable (e.g., find y in terms of x). एक समीकरण से एक चर का मान निकालें (जैसे, y का मान x के पदों में)।
Substitute this expression into the second equation. इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
Solve the resulting equation in one variable. अब एक चर वाले इस समीकरण को हल करें।
Elimination Method (विलोपन विधि):
Multiply one or both equations by suitable numbers to make the coefficients of one variable (either x or y) numerically equal. एक या दोनों समीकरणों को उपयुक्त संख्याओं से गुणा करें ताकि एक चर (x या y) के गुणांक संख्यात्मक रूप से बराबर हो जाएँ।
Add or subtract the equations to eliminate that variable. उस चर को खत्म (विलोपित) करने के लिए समीकरणों को जोड़ें या घटाएँ।
Solve the resulting equation in one variable. अब एक चर वाले इस समीकरण को हल करें।
5. Conditions for Consistency (Using Coefficients) | संगतता की शर्तें (गुणांकों का उपयोग करके)
Without even solving, we can predict the type of solution by comparing the ratios of the coefficients: बिना हल किए भी, हम गुणांकों के अनुपातों की तुलना करके हल के प्रकार की भविष्यवाणी कर सकते हैं:
For the pair of equations: समीकरण युग्म के लिए: a₁x + b₁y + c₁ = 0 a₂x + b₂y + c₂ = 0
Infinitely Many Solutions (Coincident lines) <br>अपरिमित रूप से अनेक हल (संपाती रेखाएँ)
3
a₁ / a₂ = b₁ / b₂ ≠ c₁ / c₂
No Solution (Parallel lines) <br>कोई हल नहीं (समांतर रेखाएँ)
This chapter gives you powerful tools to solve systems of equations, which are fundamental to science, engineering, and economics. यह अध्याय आपको समीकरणों के निकाय को हल करने के लिए शक्तिशाली उपकरण देता है, जो विज्ञान, इंजीनियरिंग और अर्थशास्त्र के लिए मौलिक हैं।
Exercise 3.1
Q1. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए। Form the pair of linear equations in the following problems, and find their solutions graphically.
(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए। 10 students of Class X took part in a Mathematics quiz. If the number of girls is 4 more than the number of boys, find the number of boys and girls who took part in the quiz.
(ii) 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹ 50 है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य ₹ 46 है। एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए। 5 pencils and 7 pens together cost ₹ 50, whereas 7 pencils and 5 pens together cost ₹ 46. Find the cost of one pencil and that of one pen.
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
DOWNLOAD SOLUTION PDF (LECTURE -1)
Q2. अनुपातों a₁/a₂, b₁/b₂ और c₁/c₂ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं : On comparing the ratios a₁/a₂, b₁/b₂, and c₁/c₂ find out whether the lines representing the following pairs of linear equations intersect at a point, are parallel or coincident:
Q3. अनुपातों a₁/a₂, b₁/b₂ और c₁/c₂ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत: On comparing the ratios a₁/a₂, b₁/b₂, and c₁/c₂ find out whether the following pair of linear equations are consistent, or inconsistent.
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
DOWNLOAD SOLUTION PDF (LECTURE -2)
Q4.निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन से युग्म संगत/असंगत हैं, यदि संगत हैं तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए:
Which of the following pairs of linear equations are consistent/inconsistent? If consistent, obtain the solution graphically:
(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10 (ii) x - y = 8, 3x - 3y = 16 (iii) 2x + y - 6 = 0, 4x - 2y - 4 = 0 (iv) 2x - 2y - 2 = 0, 4x - 4y - 5 = 0
Q5. एक आयताकार बाग, जिसकी लंबाई, चौड़ाई से 4 m अधिक है, का अर्धपरिमाप 36 m है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
Half the perimeter of a rectangular garden, whose length is 4 m more than its width, is 36 m. Find the dimensions of the garden.
Q6. एक रैखिक समीकरण 2x + 3y - 8 = 0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि Given the linear equation 2x + 3y – 8 = 0, write another linear equation in two variables such that the geometrical representation of the pair so formed is:
Q7. समीकरणों x - y + 1 = 0 और 3x + 2y - 12 = 0 का ग्राफ खींचिए। x-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए। Draw the graphs of the equations x – y + 1 = 0 and 3x + 2y – 12 = 0. Determine the coordinates of the vertices of the triangle formed by these lines and the x-axis, and shade the triangular region.
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
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Exercise 3.2
Q1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए: Solve the following pair of linear equations by the substitution method.
(i) x + y = 14; x - y = 4 (ii) s - t = 3; s/3 + t/2 = 6 (iii) 3x - y = 3; 9x - 3y = 9 (iv) 0.2x + 0.3y = 1.3; 0.4x + 0.5y = 2.3 (v) √2x + √3y = 0; √3x - √8y = 0 (vi) (3x/2) - (5y/3) = -2; x/3 + y/2 = 13/6
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
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Q2. 2x + 3y = 11 और 2x - 4y = -24 को हल कीजिए और इसमें ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो Solve 2x + 3y = 11 and 2x – 4y = – 24 and hence find the value of ‘m’ for which y = mx + 3.
Q3. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए: Form the pair of linear equations for the following problems and find their solution by substitution method.
(i) दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए। The difference between two numbers is 26 and one number is three times the other. Find them.
(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए। The larger of two supplementary angles exceeds the smaller by 18 degrees. Find them.
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें ₹3800 में खरीदीं। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹1750 में खरीदीं। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए। The coach of a cricket team buys 7 bats and 6 balls for ₹ 3800. Later, she buys 3 bats and 5 balls for ₹ 1750. Find the cost of each bat and each ball.
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 km दूरी के लिए भाड़ा ₹105 है तथा 15 km के लिए भाड़ा ₹155 है। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा? The taxi charges in a city consist of a fixed charge together with the charge for the distance covered. For a distance of 10 km, the charge paid is ₹ 105 and for a journey of 15 km, the charge paid is ₹ 155. What are the fixed charges and the charge per km? How much does a person have to pay for travelling a distance of 25 km?
(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह 9/11 हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह 5/6 हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए। A fraction becomes 9/11, if 2 is added to both the numerator and the denominator. If, 3 is added to both the numerator and the denominator it becomes 5/6. Find the fraction.
(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या है? Five years hence, the age of Jacob will be three times that of his son. Five years ago, Jacob’s age was seven times that of his son. What are their present ages
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
DOWNLOAD SOLUTION PDF (LECTURE -5)
Exercise 3.3
Q1. निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है? Solve the following pair of linear equations by the elimination method and the substitution method:
(i) x + y = 5 और 2x - 3y = 4 x + y = 5 and 2x – 3y = 4
(ii) 3x + 4y = 10 और 2x - 2y = 2 3x + 4y = 10 and 2x – 2y = 2
(iv) x/2 + 2y/3 = -1 और x - y/3 = 3 x/2 + 2y/3 = –1 and x – y/3 = 3
Q2. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए : Form the pair of linear equations in the following problems, and find their solutions (if they exist) by the elimination method:
(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह 1/2 हो जाती है। वह भिन्न क्या है? If we add 1 to the numerator and subtract 1 from the denominator, a fraction reduces to 1. It becomes 1/2 if we only add 1 to the denominator. What is the fraction?
(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है। Five years ago, Nuri was thrice as old as Sonu. Ten years later, Nuri will be twice as old as Sonu. How old are Nuri and Sonu?
(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए। The sum of the digits of a two-digit number is 9. Also, nine times this number is twice the number obtained by reversing the order of the digits. Find the number.
(iv) मीना ₹ 2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजाँची से ₹ 50 तथा ₹ 100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने ₹ 50 और ₹ 100 के कितने-कितने नोट प्राप्त किए। Meena went to a bank to withdraw ₹ 2000. She asked the cashier to give her ₹ 50 and ₹ 100 notes only. Meena got 25 notes in all. Find how many notes of ₹ 50 and ₹ 100 she received.
(v) किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए ₹ 27 अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के ₹ 21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए। A lending library has a fixed charge for the first three days and an additional charge for each day thereafter. Saritha paid ₹ 27 for a book kept for seven days, while Susy paid ₹ 21 for the book she kept for five days. Find the fixed charge and the charge for each extra day.
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