Continuity and Differentiability Class 12 (Chapter 5) UP Board ? CBSE Board NCERT

NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability

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NCERT Solutions For Class 12 Maths Chapter 5 – 

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Chapter 5 

CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY

(संत्यता  तथा अवकलनीयता)

Introduction to Continuity and Differentiability | सांतत्य तथा अवकलनीयता का परिचय

(Class 12 / कक्षा 12)

Welcome to the heart of Calculus! In Class 11, you were introduced to the concept of Limits. This chapter uses limits as a foundation to explore two fundamental properties of functions: Continuity (Is the graph of the function unbroken?) and Differentiability (Is the graph of the function smooth, without any sharp corners?).

कैलकुलस के हृदय में आपका स्वागत है! कक्षा 11 में, आपको सीमा (Limits) की अवधारणा से परिचित कराया गया था। यह अध्याय सीमा को आधार के रूप में उपयोग करके फलनों (functions) के दो मूलभूत गुणों का अध्ययन करता है: सांतत्य (क्या फलन का ग्राफ बिना टूटा हुआ है?) और अवकलनीयता (क्या फलन का ग्राफ बिना किसी तीक्ष्ण कोने के चिकना है?)।

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Part 1: Continuity (सांतत्य)

1. The Intuitive Idea | सहज विचार

A function is continuous if you can draw its graph without lifting your pen from the paper. If there is any break, jump, or hole in the graph, the function is discontinuous at that point.
एक फलन संतत (continuous) कहलाता है यदि आप उसका ग्राफ कागज से बिना पेन उठाए बना सकते हैं। यदि ग्राफ में कोई टूट, उछाल या छेद है, तो फलन उस बिंदु पर असंतत (discontinuous) होता है।

• Continuous (संतत): A smooth, unbroken curve.
  एक चिकना, बिना टूटा हुआ वक्र।

• Discontinuous (असंतत): A curve with a "break" or a "jump".
  एक वक्र जिसमें "टूट" या "उछाल" हो।

2. The Mathematical Definition | गणितीय परिभाषा

While the "pen" idea is good for intuition, we need a precise mathematical definition. A function f(x) is continuous at a point x = c if three conditions are met:
"पेन" वाला विचार समझने के लिए अच्छा है, लेकिन हमें एक सटीक गणितीय परिभाषा की आवश्यकता है। एक फलन f(x) किसी बिंदु x = c पर संतत होता है यदि तीन शर्तें पूरी होती हैं:

1. The Left-Hand Limit (LHL) exists. The value the function approaches as x comes from the left side of c.
   बाईं पक्ष की सीमा (LHL) का अस्तित्व हो। x के c की बाईं ओर से आने पर फलन जिस मान की ओर अग्रसर होता है।

   lim (x→c⁻) f(x)

2. The Right-Hand Limit (RHL) exists. The value the function approaches as x comes from the right side of c.
   दाईं पक्ष की सीमा (RHL) का अस्तित्व हो। x के c की दाईं ओर से आने पर फलन जिस मान की ओर अग्रसर होता है।

   lim (x→c⁺) f(x)

3. The value of the function at the point f(c) is defined.
   बिंदु f(c) पर फलन का मान परिभाषित हो।

For a function to be continuous, all three must not only exist but also be equal.
एक फलन के संतत होने के लिए, इन तीनों का न केवल अस्तित्व होना चाहिए, बल्कि वे बराबर भी होने चाहिए।

Condition for Continuity at x = c:
x = c पर सांतत्य के लिए शर्त:

LHL = RHL = f(c)
lim (x→c⁻) f(x) = lim (x→c⁺) f(x) = f(c)

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Part 2: Differentiability (अवकलनीयता)

1. The Intuitive Idea | सहज विचार

Differentiability is a step beyond continuity. A function is differentiable at a point if it is "smooth" at that point. This means there are no sharp corners, kinks, or vertical tangents.
अवकलनीयता सांतत्य से एक कदम आगे है। एक फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय (differentiable) होता है यदि वह उस बिंदु पर "चिकना" हो। इसका मतलब है कि वहाँ कोई तीक्ष्ण कोना, मोड़ या ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा नहीं है।

Think of it as being able to draw a unique tangent line at that point. At a sharp corner, you could draw infinitely many tangent lines, so there isn't a unique one.
इसे उस बिंदु पर एक अद्वितीय स्पर्श रेखा (unique tangent line) खींचने की क्षमता के रूप में सोचें। एक तीक्ष्ण कोने पर, आप अनंत स्पर्श रेखाएँ खींच सकते हैं, इसलिए कोई अद्वितीय स्पर्श रेखा नहीं होती है।

2. The Mathematical Definition | गणितीय परिभाषा

Geometrically, the derivative of a function at a point is the slope of the tangent line to the graph at that point. For the slope to be unique, the slope calculated from the left must equal the slope calculated from the right.
ज्यामितीय रूप से, किसी बिंदु पर एक फलन का अवकलज (derivative) उस बिंदु पर ग्राफ की स्पर्श रेखा की प्रवणता (slope) होता है। प्रवणता के अद्वितीय होने के लिए, बाईं ओर से परिकलित प्रवणता दाईं ओर से परिकलित प्रवणता के बराबर होनी चाहिए।

These are called the Left-Hand Derivative (LHD) and Right-Hand Derivative (RHD).
इन्हें बायाँ पक्ष अवकलज (LHD) और दायाँ पक्ष अवकलज (RHD) कहा जाता है।

A function f(x) is differentiable at x = c if LHD and RHD exist and are equal.
एक फलन f(x) किसी बिंदु x = c पर अवकलनीय होता है यदि LHD और RHD का अस्तित्व हो और वे बराबर हों।

Condition for Differentiability at x = c:
x = c पर अवकलनीयता के लिए शर्त:

LHD = RHD (and they must be finite)

lim (h→0⁻) [f(c+h) - f(c)] / h = lim (h→0⁺) [f(c+h) - f(c)] / h

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The Grand Relationship: Continuity vs. Differentiability

मुख्य संबंध: सांतत्य बनाम अवकलनीयता

This is the most important takeaway concept that connects the two ideas.
यह सबसे महत्वपूर्ण अवधारणा है जो इन दोनों विचारों को जोड़ती है।

If a function is differentiable at a point, then it MUST be continuous at that point.
यदि कोई फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय है, तो यह आवश्यक रूप से उस बिंदु पर संतत भी होगा।

In simple terms, you can't have a smooth curve (differentiable) if the curve is broken (discontinuous) to begin with.
सरल शब्दों में, यदि वक्र पहले से ही टूटा हुआ (असंतत) है तो आपके पास एक चिकना वक्र (अवकलनीय) नहीं हो सकता।

BUT, the reverse is NOT always true!
लेकिन, इसका विलोम हमेशा सत्य नहीं होता है!

If a function is continuous at a point, it is NOT necessarily differentiable at that point.
यदि कोई फलन किसी बिंदु पर संतत है, तो यह आवश्यक नहीं है कि वह उस बिंदु पर अवकलनीय भी हो।

The Classic Example (क्लासिक उदाहरण): f(x) = |x| at x = 0.

• Continuity: You can draw the V-shaped graph of |x| without lifting your pen. So, it is continuous at x=0. (LHL=0, RHL=0, f(0)=0).
  सांतत्य: आप |x| का V-आकार का ग्राफ बिना पेन उठाए बना सकते हैं। अतः, यह x=0 पर संतत है। (LHL=0, RHL=0, f(0)=0)।

• Differentiability: There is a sharp corner at x=0. The slope from the left is -1 (LHD = -1) and the slope from the right is +1 (RHD = +1). Since LHD ≠ RHD, the function is not differentiable at x=0.
  अवकलनीयता: x=0 पर एक तीक्ष्ण कोना है। बाईं ओर से प्रवणता -1 है (LHD = -1) और दाईं ओर से प्रवणता +1 है (RHD = +1)। चूँकि LHD ≠ RHD, फलन x=0 पर अवकलनीय नहीं है।

Summary (सारांश)	Continuity (सांतत्य)	Differentiability (अवकलनीयता)
Intuitive Meaning (सहज अर्थ)	No breaks, gaps, or holes.<br>(कोई टूट, अंतराल या छेद नहीं)	No sharp corners or kinks.<br>(कोई तीक्ष्ण कोने या मोड़ नहीं)
Mathematical Condition (गणितीय शर्त)	LHL = RHL = f(c)	LHD = RHD (finite)
Relationship (संबंध)	Differentiability ⇒ Continuity	Continuity ⇏ Differentiability
	(अवकलनीयता ⇒ सांतत्य)	(सांतत्य ⇏ अवकलनीयता)

Exercise 5.1

Q1: सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x) = 5x - 3$, $x = 0$, $x = -3$ तथा $x = 5$ पर सतत है।
Prove that the function $f(x) = 5x - 3$ is continuous at $x = 0$, $x = -3$, and $x = 5$

$x = 3$ पर फलन $f(x) = 2x^2 - 1$ के सातत्य की जाँच कीजिए।
Examine the continuity of the function $f(x) = 2x^2 - 1$ at $x = 3$.

Q3: निम्नलिखित फलनों के सातत्य की जाँच कीजिए:
Examine the following functions for continuity:
(a) $f(x) = x - 5$
(b) $f(x) = \dfrac{1}{x - 5}, x \ne 5$
(c) $f(x) = \dfrac{x^2 - 25}{x + 5}, x \ne -5$
(d) $f(x) = |x - 5|$

Q4: सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x) = x^n$, $n \in \mathbb{N}$, पर सतत है, जहाँ $n$ एक धन पूर्णांक है।
Prove that the function $f(x) = x^n$ is continuous at $x = n$, where $n$ is a positive integer.

Q5: क्या
$f(x) = \begin{cases} x, \text{ यदि } x \le 1 \\ 5, \text{ यदि } x > 1 \end{cases}$
द्वारा परिभाषित फलन $x = 0$, $x = 1$, तथा $x = 2$ पर सतत है?
Is the function defined by the above expression continuous at $x = 0$, $x = 1$, and $x = 2$?

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जब कि $\mathrm{<b>f\; निम्नलिखित\; प्रकार\; से\; परिभाषित\; है:</b>}$

Find all points of discontinuity of $f$, where $f$ is defined by

Q6:

$$f(x) = \begin{cases} 2x + 3, & \text{यदि } x \leq 2 \\ 2x - 3, & \text{यदि } x > 2 \end{cases}$$Q7:

$$f(x) = \begin{cases} |x| + 3, & \text{यदि } x \leq -3 \\ -2x, & \text{यदि } -3 < x < 3 \\ 6x + 2, & \text{यदि } x \geq 3 \end{cases}$$Q8:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{|x|}{x}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$$Q9:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{|x|}, & \text{यदि } x < 0 \\ -1, & \text{यदि } x \geq 0 \end{cases}$$Q10:

$$f(x) = \begin{cases} x + 1, & \text{यदि } x \geq 1 \\ x^2 + 1, & \text{यदि } x < 1 \end{cases}$$Q11:

$$f(x) = \begin{cases} x^3 - 3, & \text{यदि } x \leq 2 \\ x^2 + 1, & \text{यदि } x > 2 \end{cases}$$Q12:

$$f(x) = \begin{cases} |x|^{10} - 1, & \text{यदि } x \leq 1 \\ x^2, & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$$

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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Q13: Is the function defined by

$$f(x) = \begin{cases} x + 5, & \text{if } x \leq 1 \\ x - 5, & \text{if } x > 1 \end{cases}$$

a continuous function? क्या द्वारा परिभाषित फलन, एक सतत् फलन है?

फलन $f$ के सतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ $f$ निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:

Q14: $f(x) = \begin{cases} 3, & \text{if } 0 \le x \le 1 \\ 4, & \text{if } 1 < x < 3 \\ 5, & \text{if } 3 \le x \le 10 \end{cases}$

Q15: $f(x) = \begin{cases} 2x, & \text{if } x < 0 \\ 0, & \text{if } 0 \le x \le 1 \\ 4x, & \text{if } x > 1 \end{cases}$

Q16: $$f(x)={−2,if x≤−12x,if −1<x≤12,if x>1f(x) = \begin{cases} -2, & \text{if } x \le -1 \\ 2x, & \text{if } -1 < x \le 1 \\ 2, & \text{if } x > 1 \end{cases}

Q17:  Find the relationship between $a$ and $b$ so that the function $f$ defined bya

a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए

$$f(x) = \begin{cases} ax + 1, & \text{if } x \le 3 \\ bx + 3, & \text{if } x > 3 \end{cases}$$is continuous at x = 3 

द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर सतत है।

.

द्वारा परिभाषित फलन $x = 0$ पर सतत है। $x = 1$ पर इसके सतत्य पर विचार कीजिए।

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

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Q19: Show that the function defined by $g(x) = x - [x]$ is discontinuous at all integral points. Here $[x]$ denotes the greatest integer less than or equal to $x$.

दर्शाइए कि $g(x) = x - [x]$ द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णांक बिंदुओं पर असंतत है। यहाँ
$[x]$ उस महत्तम पूर्णांक निरूपित करता है, जो $x$ के बराबर या $x$ से कम है।

Q20: Is the function defined by $f(x) = x^2 - \sin x + 5$ continuous at $x = \pi$?

 क्या $f(x) = x^2 - \sin x + 5$ द्वारा परिभाषित फलन $x = \pi$ पर सतत है?

Q21: Discuss the continuity of the following functions:

निम्नलिखित फलनों के सतत्य पर विचार कीजिए:

(a) $f(x) = \sin x + \cos x$
(b) $f(x) = \sin x - \cos x$
(c) $f(x) = \sin x \cdot \cos x$

Q22: Discuss the continuity of the cosine, cosecant, secant and cotangent functions.

cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सतत्य पर विचार कीजिए।

Q23: Find all points of discontinuity of $f$, where

$f$ के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x}, & \text{if } x < 0 \\ x + 1, & \text{if } x \ge 0 \end{cases}$$

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उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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द्वारा परिभाषित फलन $x = \dfrac{\pi}{2}$ पर

Q27: $f(x) = \begin{cases} kx^2, & \text{if } x \leq 2 \\ 3, & \text{if } x > 2 \end{cases} \quad \text{Function is defined at } x = 2$

द्वारा परिभाषित फलन x=2 पर

Q28: $f(x) = \begin{cases} kx + 1, & \text{if } x \leq \pi \\ \cos x, & \text{if } x > \pi \end{cases} \quad \text{Function is defined at } x = \pi$

द्वारा परिभाषित फलन x=π पर

Q29: $f(x) = \begin{cases} kx + 1, & \text{if } x \leq 5 \\ 3x - 5, & \text{if } x > 5 \end{cases} \quad \text{Function is defined at } x = 5$

द्वारा परिभाषित फलन x=5 पर

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(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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Q30: Find the values of $a$ and $b$ such that the function defined by

a तथा $b$ के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि

$$f(x) = \begin{cases} 5, & \text{if } x \leq 2 \\ ax + b, & \text{if } 2 < x < 10 \\ 21, & \text{if } x \geq 10 \end{cases}$$is a continuous function.

द्वारा परिभाषित फलन एक सतत फलन हो।

Q31: Show that the function defined by $f(x) = \cos(x^2)$ is a continuous function.

 दर्शाइए कि $f(x) = \cos(x^2)$ द्वारा परिभाषित फलन एक सतत फलन है।

Q32: Show that the function defined by $f(x) = |\cos x|$ is a continuous function.

दर्शाइए कि $f(x) = |\cos x|$ द्वारा परिभाषित फलन एक सतत फलन है।

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Exercise 5.2

Differentiate the functions with respect to x in Exercises 1 to 8.
प्रश्न 1 से 8 में x के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए:

Q1.sin(x² + 5)

Q2. cos(sin x)

Q3. sin(ax + b)

Q4. sec(tan(√x))

Q5.

$\frac{\sin (ax+b)}{\cos (cx+d)}$

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Q6. cos x³ . sin²(x⁵)

Q7. 2cot(x2)​

Q8. cos(√x)

Q9. Prove that the function f given by f(x) = |x – 1|, x ∈ R is not differentiable at x = 1.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = |x – 1|, x ∈ R, x = 1 पर अवकलित नहीं है।

Q10. Prove that the greatest integer function defined by f(x) = [x], 0 < x < 3 is not differentiable at x = 1 and x = 2.
सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णांक फलन f(x) = [x], 0 < x < 3, x = 1 तथा x = 2 पर अवकलित नहीं है।

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Exercise 5.3

Find dy/dx in the following:
निम्नलिखित प्रश्नों में dy/dx ज्ञात कीजिए:

Q1. 2x + 3y = sin x

Q2.2x + 3y = sin y

Q3.ax + by² = cos y

Q4.xy + y² = tan x + y

Q5.x² + xy + y² = 100

Q6.x³ + x²y + xy² + y³ = 81

Q7.sin²y + cos xy = k (or κ)

Q8.sin²x + cos²y = 1

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Q9.y=sin−1(1+x22x​)

$Q10.y={\tan }^{-1}\left(\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\right),-\frac{1}{\sqrt{3}}<x<\frac{1}{\sqrt{3}}$

Q11.y=cos−1(1+x21−x2​),0<x<1

Q12.y=sin−1(1+x21−x2​),0<x<1

Q13.y=cos−1(1+x22x​),−1<x<1

Q14.y=sin−1(2x1−x2​),−2​1​<x<2​1​

Q15.y=sec−1(2x2−11​),0<x<2​1​

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Exercise 5.4

Differentiate the following w.r.t. x:
निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

Q1. 

$\frac{e^x}{\sin x}$

Q2. esin−1x 

Q3. 

$e^{x^3}$

Q4. sin(tan⁻¹ e⁻ˣ)

Q5. log(cos eˣ)

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DOWNLOAD SOLUTION PDF (LECTURE -11) 

Q6. ex+ex2+...+ex5

Q7.

$\sqrt{e^{\sqrt{x}}},x>0$

Q8. log(log x), x > 1

Q9.

$\frac{\cos x}{\log x},x>0$

Q10. cos(log x + eˣ)

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Exercise 5.5

Differentiate the functions given in Exercises 1 to 11 w.r.t. x.
1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

Q1. cos x . cos 2x . cos 3x

Q2. 

$\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}$

Q3. (log x)ᶜᵒˢ ˣ

Q4. xˣ – 2ˢⁱⁿ ˣ

Q5. (x + 3)² . (x + 4)³ . (x + 5)⁴

Q6. 

${(x+\frac{1}{x})}^x+x^{(1+\frac{1}{x})}$

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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Q7. (log x)ˣ + xˡᵒᵍ ˣ

Q8. (sin x)ˣ + sin⁻¹ √x

Q9. xˢⁱⁿ ˣ + (sin x)ᶜᵒˢ ˣ

Q10. xxcosx+x2−1x2+1​

Q11. (xcosx)x+(xsinx)1/x

Find dy/dx of the functions given in Exercises 12 to 15.
12 से 15 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों के लिए dy/dx ज्ञात कीजिए:

Q12. xʸ + yˣ = 1

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

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null

DOWNLOAD SOLUTION PDF (LECTURE -14) 

Q13. yˣ = xʸ

Q14. (cos x)ʸ = (cos y)ˣ

Q15. xy = e⁽ˣ⁻ʸ⁾

Q16. Find the derivative of the function given by f(x) = (1 + x)(1 + x²)(1 + x⁴)(1 + x⁸) and hence find f'(1).
f(x) = (1 + x)(1 + x²)(1 + x⁴)(1 + x⁸) द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार f'(1) ज्ञात कीजिए।

Q17. Differentiate (x² – 5x + 8)(x³ + 7x + 9) in three ways mentioned below:
(i) by using product rule
(ii) by expanding the product to obtain a single polynomial.
(iii) by logarithmic differentiation.
Do they all give the same answer?
(x² – 5x + 8)(x³ + 7x + 9) का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए:
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुगणकीय अवकलन द्वारा
यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान हैं।

Q18. If u, v and w are functions of x, then show that

$\frac{d}{dx}(u\mathrm{.}v\mathrm{.}w)=\frac{du}{dx}v\mathrm{.}w+u\mathrm{.}\frac{dv}{dx}\mathrm{.}w+u\mathrm{.}v\mathrm{.}\frac{dw}{dx}$

in two ways - first by repeated application of product rule, second by logarithmic differentiation.
यदि u, v तथा w, x के फलन हैं, तो दो विधियों अर्थात् प्रथम-गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय - लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि

$\frac{d}{dx}(u\mathrm{.}v\mathrm{.}w)=\frac{du}{dx}v\mathrm{.}w+u\mathrm{.}\frac{dv}{dx}\mathrm{.}w+u\mathrm{.}v\mathrm{.}\frac{dw}{dx}$

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DOWNLOAD SOLUTION PDF (LECTURE -15) 

Exercise 5.6

If x and y are connected parametrically by the equations given in Exercises 1 to 10, without eliminating the parameter, Find dy/dx.
यदि प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में x तथा y दिए समीकरणों द्वारा, एक दूसरे से प्राचलिक रूप में संबंधित हों, तो प्राचलों का विलोपन किए बिना, dy/dx ज्ञात कीजिए:

Q1. x = 2at², y = at⁴

Q2. x = a cos θ, y = b cos θ

Q3. x = sin t, y = cos 2t

Q4. x = 4t, y = 4/t

Q5. x = cos θ – cos 2θ, y = sin θ – sin 2θ

Q6. x = a(θ – sin θ), y = a(1 + cos θ)

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

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$Q7.x=\frac{{\sin }^{3}t}{\sqrt{\cos 2t}},y=\frac{{\cos }^{3}t}{\sqrt{\cos 2t}}$

Q8. x=a(cost+logtan2t​),y=asint

Q9. x = a sec θ, y = b tan θ

Q10. x = a(cos θ + θ sin θ), y = a(sin θ – θ cos θ)

 Q11. If 

$x=\sqrt{a^{{\sin }^{-1}t}},y=\sqrt{a^{{\cos }^{-1}t}}$

, show that 

$\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}$

यदि 

$x=\sqrt{a^{{\sin }^{-1}t}},y=\sqrt{a^{{\cos }^{-1}t}}$

, तो दर्शाइए कि 

$\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}$

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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Exercise 5.7

Find the second order derivatives of the functions given in Exercises 1 to 10.
प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में दिए फलनों के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए:

Q1. x² + 3x + 2

Q2. x²⁰

Q3. x . cos x

Q4. log x

Q5. x³ log x

Q6. eˣ sin 5x

Q7. e⁶ˣ cos 3x

Q8. tan⁻¹ x

Q9. log(log x)

Q10. sin(log x)

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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Q11. If y = 5 cos x – 3 sin x, prove that 

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+y=0$

 यदि y = 5 cos x – 3 sin x है तो सिद्ध कीजिए कि 

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+y=0$

Q12. If y = cos⁻¹ x, Find 

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$

 in terms of y alone.
यदि y = cos⁻¹ x है तो 

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$

 को केवल y के पदों में ज्ञात कीजिए।

Q13. If y = 3 cos(log x) + 4 sin(log x), show that x²y₂ + xy₁ + y = 0
यदि y = 3 cos(log x) + 4 sin(log x) है तो दर्शाइए कि x²y₂ + xy₁ + y = 0

 Q14. If y = Aeᵐˣ + Beⁿˣ, show that 

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-(m+n)\frac{dy}{dx}+mny=0$

यदि y = Aeᵐˣ + Beⁿˣ है तो दर्शाइए कि 

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-(m+n)\frac{dy}{dx}+mny=0$

Q15. If y = 500e⁷ˣ + 600e⁻⁷ˣ, show that 

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=49y$

यदि y = 500e⁷ˣ + 600e⁻⁷ˣ है तो दर्शाइए कि 

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=49y$

 है।

Q16. If eʸ(x + 1) = 1, show that 

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}={\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2$

यदि eʸ(x + 1) = 1 है तो दर्शाइए कि 

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}={\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2$

 है।

Q17. If y = (tan⁻¹ x)², show that (x² + 1)²y₂ + 2x(x² + 1)y₁ = 2
यदि y = (tan⁻¹ x)² है तो दर्शाइए कि (x² + 1)²y₂ + 2x(x² + 1)y₁ = 2 है।

उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें

(See the solution of the questions of the above exercise from here)

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