Arithmetic Progressions Class 10 Maths (Chapter 5)
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NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions
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NCERT Solutions For Class 10 Maths Chapter 5 –
Master the principles of sequences and series with our comprehensive NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions. This expertly crafted resource is your key to excelling in the UP Board / CBSE Class 10 board examination. Created and reviewed by seasoned educators, our solutions demystify every problem from your NCERT textbook, focusing on core concepts like finding the nth term of an AP and calculating the sum of the first n terms of an AP. These Class 10 Maths Chapter 5 Solutions are precisely framed according to the latest UP Board / CBSE Syllabus for 2025-26 and its guidelines, ensuring your preparation is perfectly in tune with the current exam pattern. By leveraging these Arithmetic Progressions Class 10 NCERT Solutions, you can solidify your understanding, enhance your problem-solving skills, and approach your board exams with complete confidence.
Chapter 5
ARITHMETIC PROGRESSIONS
(समांतर श्रेणियाँ)
Introduction to Arithmetic Progressions (AP) | समांतर श्रेढ़ियों का परिचय
(Class 10 / कक्षा 10)
Welcome to the study of patterns! In your daily life, you see many patterns, like the petals on a flower, the design on a honeycomb, or even the way your salary might increase each year. This chapter focuses on a very specific and common type of number pattern called an Arithmetic Progression.
पैटर्न के अध्ययन में आपका स्वागत है! अपने दैनिक जीवन में, आप कई पैटर्न देखते हैं, जैसे फूल की पंखुड़ियाँ, मधुमक्खी के छत्ते का डिज़ाइन, या यहाँ तक कि हर साल आपकी तनख्वाह बढ़ने का तरीका। यह अध्याय एक बहुत ही विशिष्ट और सामान्य प्रकार के संख्या पैटर्न पर केंद्रित है जिसे समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression) कहा जाता है।
1. What is an Arithmetic Progression (AP)? | समांतर श्रेढ़ी (AP) क्या है?
An Arithmetic Progression is a list of numbers in which each term is obtained by adding a fixed number to the preceding term (except the first term). एक समांतर श्रेढ़ी संख्याओं की एक ऐसी सूची है जिसमें प्रत्येक पद (पहले पद के अतिरिक्त) अपने से ठीक पहले वाले पद में एक निश्चित संख्या जोड़ने पर प्राप्त होता है।
This "fixed number" is called the common difference of the AP. It can be positive, negative, or zero. यह "निश्चित संख्या" उस AP का सार्व अंतर (common difference) कहलाती है। यह धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।
Examples (उदाहरण):
2, 5, 8, 11, ... Here, we add 3 each time. So, the common difference is 3. यहाँ, हम हर बार 3 जोड़ते हैं। अतः, सार्व अंतर 3 है।
100, 90, 80, 70, ... Here, we add -10 each time. So, the common difference is -10. यहाँ, हम हर बार -10 जोड़ते हैं। अतः, सार्व अंतर -10 है।
7, 7, 7, 7, ... Here, we add 0 each time. So, the common difference is 0. यहाँ, हम हर बार 0 जोड़ते हैं। अतः, सार्व अंतर 0 है।
2. The Building Blocks of an AP | AP के मूलभूत अंग
To work with an AP, you need to know its basic components: एक AP के साथ काम करने के लिए, आपको इसके मूल घटकों को जानना होगा:
English Term
Hindi Term
Symbol (प्रतीक)
Meaning (अर्थ)
First Term
प्रथम पद
a or a₁
The starting number of the sequence.<br>श्रेढ़ी की पहली संख्या।
Common Difference
सार्व अंतर
d
The fixed number added to get the next term. d = a₂ - a₁.<br>अगला पद प्राप्त करने के लिए जोड़ी गई निश्चित संख्या। d = a₂ - a₁
Term
पद
aₙ
The term at the nth position.<br>n-वें स्थान पर स्थित पद।
Number of terms
पदों की संख्या
n
The position of a term in the sequence.<br>श्रेढ़ी में किसी पद का स्थान।
The general form of an AP is: a, a+d, a+2d, a+3d, ... एक AP का व्यापक रूप है: a, a+d, a+2d, a+3d, ...
3. The Two Key Formulas of this Chapter | इस अध्याय के दो मुख्य सूत्र
This entire chapter revolves around two powerful formulas that allow you to find anything you want about an AP without writing out the whole list. यह पूरा अध्याय दो शक्तिशाली सूत्रों के इर्द-गिर्द घूमता है जो आपको पूरी सूची लिखे बिना AP के बारे में कुछ भी पता लगाने की अनुमति देते हैं।
1. Finding the nᵗʰ Term (The General Term) | n-वाँ पद (व्यापक पद) ज्ञात करना If you want to find any term in the sequence (like the 50th term), you use this formula: यदि आप श्रेढ़ी में कोई भी पद (जैसे 50वाँ पद) ज्ञात करना चाहते हैं, तो आप इस सूत्र का उपयोग करते हैं:
aₙ = a + (n - 1)d
2. Finding the Sum of the First n Terms | प्रथम n पदों का योग ज्ञात करना If you want to add up the first n terms of an AP (like the sum of the first 20 terms), you use this formula: यदि आप एक AP के प्रथम n पदों को जोड़ना चाहते हैं (जैसे पहले 20 पदों का योग), तो आप इस सूत्र का उपयोग करते हैं:
Sₙ = n/2 [2a + (n - 1)d]
There is also a simpler version of the sum formula if you know the last term (l or aₙ): योग सूत्र का एक सरल संस्करण भी है यदि आप अंतिम पद (l या aₙ) जानते हैं:
Sₙ = n/2 [a + l]
4. A Quick Example | एक त्वरित उदाहरण
Let's consider the AP: 4, 9, 14, 19, ... आइए AP पर विचार करें: 4, 9, 14, 19, ...
First Term (प्रथम पद) a = 4
Common Difference (सार्व अंतर) d = 9 - 4 = 5
Problem 1: Find the 10th term (a₁₀). | 10वाँ पद (a₁₀) ज्ञात कीजिए। Using the formula aₙ = a + (n - 1)d: a₁₀ = 4 + (10 - 1) × 5 a₁₀ = 4 + 9 × 5 a₁₀ = 4 + 45 = 49 So, the 10th term is 49. अतः, 10वाँ पद 49 है।
Problem 2: Find the sum of the first 10 terms (S₁₀). | प्रथम 10 पदों का योग (S₁₀) ज्ञात कीजिए। Using the formula Sₙ = n/2 [2a + (n - 1)d]: S₁₀ = 10/2 [2(4) + (10 - 1) × 5] S₁₀ = 5 [8 + 9 × 5] S₁₀ = 5 [8 + 45] S₁₀ = 5 [53] = 265 So, the sum of the first 10 terms is 265. अतः, प्रथम 10 पदों का योग 265 है।
This chapter provides a systematic way to analyze and solve problems involving these predictable, linear patterns. यह अध्याय इन पूर्वानुमानित, रैखिक पैटर्नों से जुड़ी समस्याओं का विश्लेषण और समाधान करने का एक व्यवस्थित तरीका प्रदान करता है।
Exercise 5.1
Q1. निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में संबद्ध संख्याओं की सूची A.P. है और क्यों? In which of the following situations, does the list of numbers involved make an arithmetic progression, and why?
(i) प्रत्येक किलो मीटर के बाद का टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलो मीटर के लिए किराया ₹ 15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलो मीटर के लिए किराया ₹ 8 है। The taxi fare after each km when the fare is ₹ 15 for the first km and ₹ 8 for each additional km.
(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पंप प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का 1/4 भाग बाहर निकाल देता है। The amount of air present in a cylinder when a vacuum pump removes 1/4 of the air remaining in the cylinder at a time.
(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुँआ खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत ₹ 150 है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत ₹ 50 बढ़ती जाती है। The cost of digging a well after every metre of digging, when it costs ₹ 150 for the first metre and rises by ₹ 50 for each subsequent metre.
(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि ₹ 10000 की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है। The amount of money in the account every year, when ₹ 10000 is deposited at compound interest at 8% per annum.
Q2. दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अंतर d निम्नलिखित हैं: Write first four terms of the AP, when the first term a and the common difference d are given as follows:
(i) a = 10, d = 10 (ii) a = -2, d = 0 (iii) a = 4, d = -3 (iv) a = -1, d = 1/2 (v) a = -1.25, d = -0.25
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
DOWNLOAD SOLUTION PDF (LECTURE -1)
Q3. निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P. के लिए प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए : For the following APs, write the first term and the common difference:
Q4. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P. हैं? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए। Which of the following are APs ? If they form an AP, find the common difference d and write three more terms.
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
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Exercise 5.2
Q1. निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ AP का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और nवाँ पद aₙ है:
Fill in the blanks in the following table, given that a is the first term, d the common difference and aₙ the nth term of the AP:
Q2. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए: Choose the correct choice in the following and justify:Fill in the blanks in the following table, given that a is the first term, d the common difference and aₙ the nth term of the AP:
(i) A.P.: 10, 7, 4, . . . , का 30वाँ पद है: 30th term of the AP: 10, 7, 4, . . . , is: (A) 97 (B) 77 (C) -77 (D) -87
(ii) A.P.: -3, -1/2, 2, . . . , का 11वाँ पद है: 11th term of the AP: – 3, –1/2 , 2, . . ., is (A) 28 (B) 22 (C) -38 (D) -48 ½
Q3. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए : In the following APs, find the missing terms in the boxes :
Q6. क्या A.P.: 11, 8, 5, 2, . . . का एक पद -150 है? क्यों? Check whether – 150 is a term of the AP : 11, 8, 5, 2, . . .
Q7. उस A.P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है। Find the 31st term of an AP whose 11th term is 38 and the 16th term is 73.
Q8. एक A.P. में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए। An AP consists of 50 terms of which 3rd term is 12 and the last term is 106. Find the 29th term.
Q9. यदि किसी A.P. के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और -8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा? If the 3rd and the 9th terms of an AP are 4 and – 8 respectively, which term of this AP is zero?
Q10. किसी A.P. का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए। The 17th term of an AP exceeds its 10th term by 7. Find the common difference.
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
DOWNLOAD SOLUTION PDF (LECTURE -4)
Q11. A.P. : 3, 15, 27, 39, . . . का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा? Which term of the AP : 3, 15, 27, 39, . . . will be 132 more than its 54th term?
Q12. दो समांतर श्रेढ़ियों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा? Two APs have the same common difference. The difference between their 100th terms is 100, what is the difference between their 1000th terms?
Q13. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं? How many three-digit numbers are divisible by 7?
Q14. 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं? How many multiples of 4 lie between 10 and 250?
Q15. n के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेढ़ियों 63, 65, 67, . . . और 3, 10, 17, . . . के nवें पद बराबर होंगे? For what value of n, are the nth terms of two APs: 63, 65, 67, . . . and 3, 10, 17, . . . equal?
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
DOWNLOAD SOLUTION PDF (LECTURE -5)
Q16. वह A.P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है। Determine the AP whose third term is 16 and the 7th term exceeds the 5th term by 12.
Q17. A.P. : 3, 8, 13, . . . , 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए। Find the 20th term from the last term of the AP : 3, 8, 13, . . . , 253.
Q18. किसी A.P. के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A.P. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए। The sum of the 4th and 8th terms of an AP is 24 and the sum of the 6th and 10th terms is 44. Find the first three terms of the AP.
Q19. सुब्बा राव ने 1995 में ₹ 5000 के मासिक वेतन पर कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष ₹ 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन ₹ 7000 हो गया? Subba Rao started work in 1995 at an annual salary of ₹ 5000 and received an increment of ₹ 200 each year. In which year did his income reach ₹ 7000?
Q20. रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में ₹ 50 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत ₹ 17.5 बढ़ाती गई। यदि nवें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत ₹ 207.50 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए। Ramkali saved ₹ 50 in the first week of a year and then increased her weekly savings by ₹ 17.5. If in the nth week, her weekly savings become ₹ 207.50, find n.
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
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Exercise 5.3
Q1. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए: Find the sum of the following APs: (i) 2, 7, 12, . . ., 10 पदों तक / to 10 terms. (ii) -37, -33, -29, . . ., 12 पदों तक / to 12 terms. (iii) 0.6, 1.7, 2.8, . . ., 100 पदों तक / to 100 terms. (iv) 1/15, 1/12, 1/10, . . ., 11 पदों तक / to 11 terms.
Q2. नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए : Find the sums given below : (i) 7 + 10 ½ + 14 + . . . + 84 (ii) 34 + 32 + 30 + . . . + 10 (iii) -5 + (-8) + (-11) + . . . + (-230)
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
DOWNLOAD SOLUTION PDF (LECTURE -7)
Q3. एक A.P. में, / In an AP: (i) a = 5, d = 3 और aₙ = 50 दिया है। n और Sₙ ज्ञात कीजिए। given a = 5, d = 3, aₙ = 50, find n and Sₙ. (ii) a = 7 और a₁₃ = 35 दिया है। d और S₁₃ ज्ञात कीजिए। given a = 7, a₁₃ = 35, find d and S₁₃. (iii) a₁₂ = 37 और d = 3 दिया है। a और S₁₂ ज्ञात कीजिए। given a₁₂ = 37, d = 3, find a and S₁₂. (iv) a₃ = 15 और S₁₀ = 125 दिया है। d और a₁₀ ज्ञात कीजिए। given a₃ = 15, S₁₀ = 125, find d and a₁₀. (v) d = 5 और S₉ = 75 दिया है। a और a₉ ज्ञात कीजिए। given d = 5, S₉ = 75, find a and a₉. (vi) a = 2, d = 8 और Sₙ = 90 दिया है। n और aₙ ज्ञात कीजिए। given a = 2, d = 8, Sₙ = 90, find n and aₙ. (vii) a = 8, aₙ = 62 और Sₙ = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए। given a = 8, aₙ = 62, Sₙ = 210, find n and d. (viii) aₙ = 4, d = 2 और Sₙ = -14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए। given aₙ = 4, d = 2, Sₙ = –14, find n and a. (ix) a = 3, n = 8 और S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए। given a = 3, n = 8, S = 192, find d. (x) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद है। a ज्ञात कीजिए। given l = 28, S = 144, and there are total 9 terms. Find a.
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
DOWNLOAD SOLUTION PDF (LECTURE -8)
Q4. 636 योग प्राप्त करने के लिए, A.P. : 9, 17, 25, . . . के कितने पद लेने चाहिए? How many terms of the AP : 9, 17, 25, . . . must be taken to give a sum of 636?
Q5. किसी A.P. का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए। The first term of an AP is 5, the last term is 45 and the sum is 400. Find the number of terms and the common difference.
Q6. किसी A.P. के प्रथम और अंतिम पद क्रमश: 17 और 350 हैं। यदि सार्व अंतर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है? The first and the last terms of an AP are 17 and 350 respectively. If the common difference is 9, how many terms are there and what is their sum?
Q7. उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है। Find the sum of first 22 terms of an AP in which d = 7 and 22nd term is 149.
Q8. उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमश: 14 और 18 हैं। Find the sum of first 51 terms of an AP whose second and third terms are 14 and 18 respectively.
Q9. यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए। If the sum of first 7 terms of an AP is 49 and that of 17 terms is 289, find the sum of first n terms.
Q10. दर्शाइए कि a₁, a₂, . . . , aₙ, . . . से एक A.P. बनती है, यदि aₙ नीचे दिए अनुसार परिभाषित है : Show that a₁, a₂, . . . , aₙ, . . . form an AP where aₙ is defined as below : (i) aₙ = 3 + 4n (ii) aₙ = 9 - 5n साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए। Also find the sum of the first 15 terms in each case.
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
DOWNLOAD SOLUTION PDF (LECTURE -9)
Q11. यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n - n² है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् S₁) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार, तीसरे, 10वें और nवें पद ज्ञात कीजिए। If the sum of the first n terms of an AP is 4n – n², what is the first term (that is S₁)? What is the sum of first two terms? What is the second term? Similarly, find the 3rd, the 10th and the nth terms.
Q12. ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।
Find the sum of the first 40 positive integers divisible by 6.
Q13. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए। Find the sum of the first 15 multiples of 8.
Q14. 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए। Find the sum of the odd numbers between 0 and 50.
Q15. निर्माण कार्य से संबंधित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलंब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार है : पहले दिन के लिए ₹ 200, दूसरे दिन के लिए ₹ 250, तीसरे दिन के लिए ₹ 300 इत्यादि, अर्थात् प्रत्येक उत्तरोतर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से ₹ 50 अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलंब कर देता है? A contract on construction job specifies a penalty for delay of completion beyond a certain date as follows: ₹ 200 for the first day, ₹ 250 for the second day, ₹ 300 for the third day, etc., the penalty for each succeeding day being ₹ 50 more than for the preceding day. How much money the contractor has to pay as penalty, if he has delayed the work by 30 days?
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
DOWNLOAD SOLUTION PDF (LECTURE -10)
Q16. किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹ 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए। A sum of ₹ 700 is to be used to give seven cash prizes to students of a school for their overall academic performance. If each prize is ₹ 20 less than its preceding prize, find the value of each of the prizes.
Q17. एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अंदर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी? In a school, students thought of planting trees in and around the school to reduce air pollution. It was decided that the number of trees, that each section of each class will plant, will be the same as the class, in which they are studying, e.g., a section of Class I will plant 1 tree, a section of Class II will plant 2 trees and so on till Class XII. There are three sections of each class. How many trees will be planted by the students?
Q18. केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केंद्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, . . . वाले उत्तरोतर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (spiral) बनाया गया है, जैसाकि आकृति 5.4 में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है? (π = 22/7 लीजिए।) A spiral is made up of successive semicircles, with centres alternately at A and B, starting with centre at A, of radii 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, . . . as shown in Fig. 5.4. What is the total length of such a spiral made up of thirteen consecutive semicircles? (Take π = 22/7)
Q19. 200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है : सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे, इत्यादि (देखिए आकृति 5.5)। ये 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं? 200 logs are stacked in the following manner: 20 logs in the bottom row, 19 in the next row, 18 in the row next to it and so on (see Fig. 5.5). In how many rows are the 200 logs placed and how many logs are in the top row?
Q20. एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5m की दूरी पर है, तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं (देखिए आकृति 5.6)। प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारंभ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है, और वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी? In a potato race, a bucket is placed at the starting point, which is 5 m from the first potato, and the other potatoes are placed 3 m apart in a straight line. There are ten potatoes in the line (see Fig. 5.6). A competitor starts from the bucket, picks up the nearest potato, runs back with it, drops it in the bucket, runs back to pick up the next potato, runs to the bucket to drop it in, and she continues in the same way until all the potatoes are in the bucket. What is the total distance the competitor has to run?
उपरोक्त अभ्यास के प्रश्नों का हल यहाँ से देखें
(See the solution of the questions of the above exercise from here)
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